Симметричные элементы

При аддитивной форме записи операции симметричный к а элемент обозначается (-а) и называется противоположным элементу а.

При мультипликативной форме записи симметричный к а элемент обозначается и называется обратным к элементу а.

Примеры:

1. Множество классов вычетов по модулю 6. «+» — операция сложения. Нейтральный относительно «+» элемент — , противоположный к классу относительно «+» элемент — класс . Действительно, . Значит — = .

2. , «∙» — операция умножения. Нейтральный относительно «∙» элемент — . . Действительно,

Справедлива следующая теорема

Теорема.2. Пусть * — бинарная операция на множестве А, * — ассоциативна и существует — нейтральный относительно этой операции * элемент.

Тогда: а) если существует симметричный к элементу элемент, то он единственный;

б) .

Доказательство: а) Допустим, что существует два симметричных к элементу а элемента — . Тогда .

б)

— симметричный к элементу элемент, т. е. . ▲

п. 5. Определение группы

Опр.6. Пусть , * — бинарная операция на множестве . называется группой, если выполняются следующие условия (аксиомы группы):

1)  , т. е. операция * ассоциативна;

2)  , т. е. в множестве существует нейтральный относительно операции * элемент;

3)  , т. е. для каждого элемента а множества существует в множестве симметричный к нему элемент .

Опр.7. Группа называется коммутативной (абелевой), если операция * коммутативна.

Опр.8. Группа называется конечной, если — конечное множество; при этом число элементов множества называют порядком группы .

Если — бесконечное множество, то группа называется бесконечной группой.

Свойства группы

1)  Нейтральный элемент в группе единственный (теорема 1).

2)  Каждый элемент группы имеет единственный симметричный к нему элемент (теорема 2).

3)  . Симметричный к симметричному для элемента а элемент есть сам элемент а.

Доказательство: По определению симметричного элемента имеем, что . Тогда . ▲

4)  В группе выполняются законы сокращения, т. е. и .

Доказательство: Пусть . Тогда