Шпоры по высшей математике

1. Системы линейных неравенств

Лин. нер. – нерав., левая и правая части которого — линейные функции относ-но неизвестных. Это нер. вида ax+b>0, ax+b<0, ax+b≤0, где a и b — действительные числа.

Лин. неравенства решают заменой исходного нер. ему эквивалентным. Использ-тся след. преобразования нер-тв: прибавление к обеим частям нерав. одного и того же числа и умножение (деление) обеих частей нер-ва на одно и то же число.

Система лин. неравенств — любая совокупн. двух или более лин. нер., содерж-их одну и ту же неиз-ую вел-ну. Решить сист. Нерав. — значит найти все знач. неизв-ой величины, при к-ых выполняется каждое нерав. сист.

2 . Множества и операции над ними.

МНОЖЕСТВО – совок. объектов, объед-ных по какому-нибудь общему признаку, свойству. Явл. неопределенным, его можно только понимать и описать. Пример: Мн-во студентов уч. Группы. Объекты, из которых состоит мн-во, назыв. его ЭЛЕМЕНТАМИ.

Мн-ва обозначаются: B, C,…,X, Y,…,A1,B1,… Элементы мн-ва обозн.: b, c,…,x, y,…,a1,b1,… По числу элементов мн-ва делятся на три класса: 1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые. Мн-во задается 2мя способами: перечисление всех элементов, с помощью характеристических свойств элементов.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА. Мн-во В является подмножеством мн-ва А тогда и только тогда, когда каждый элемент мн-ва В является элементом мн-ва А. записывается так: ВÌА или АÉВ. Множества А и В назыв. равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Операции: 1.Объединением двух множеств А и В назыв. такое мн-во С, кот-е состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Обозн.: А È В, где È — символ объединения

2.Пересечением множеств А и В называется мн-во, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно. Символически обозначается: АÇВ, где символ Ç — знак пересечения множеств.

3. Разностью двух множеств А и В называется мн-во, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. обозначается: А ÷ В, где символ ÷ является знаком разности для множеств.

3. Понятие матрицы и её экономическая интерпретация. Операции над матрицами.

Матр. — матем. объект, запис-мый в виде прямоуг. таблицы, кот-я представляет собой совок-сть строк и столбцов, на пересеч. которых находятся её элементы. Кол-во строк и столбцов задают размер матрицы. Эл-ты матрицы нумеруются 2-мя индексами:

1)  i – означает номер строки

2)  j – № столбца на пересеч. кот. стоит эл-нт.

Если у матр. m строк и n столбцов, то её размерность mxn. Матрицы наз. равными, если они имеют одинак. размерность и все их соответствующие эл. равны. Если в матр. число строк = числу столбцов (т = п), то матр.- квадратная. Если m=1 получается матрица-строка (вектор-строка). Если n=1 – матрица-столбец (вектор-столбец). Квадр. матр., у кот. все эл., кроме элементов aij, равны нулю наз. диагональной. Диагональная матр., у кот. все элементы на главной диагонали равны 1, наз. единичной матрицей (Е). Матрица, у кот. все элементы равны 0, наз. нулевой (О). Операции над матрицами: 1) Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно склады­вать. Суммой двух матр. А и В называется матрица С, элементы кот. = сумме соотв-щих эл-тов матр. А и В.

2) Произведение матрицы на число. Произвед. матрицы А на число назыв. матр. В, элементы кот. = произведению числа λ на соотв-щие элементы матрицы А. (bij= λ • aij). Отсюда следует, что при умнож. матрицы на нуль получается нуль-матрица.

3) Произведение матриц Аmxn и Вnxp назыв. матрица С размерности Сmxp, каждый элемент которой cij = ai1 • bij + ai2 • b2j + ai3 • b3j + ain •bnj.

4. Опред. 2,3 порядка. Св-ва определителей

Матрица первого порядка содержит ед-ный элемент, и этот эл. явл. опр-лем матрицы.

Оп-лем 2го порядка назыв. число равное разности произведений эл-тов главной и второй диагонали. Оп-ль 3го порядка вычислить легко, если учесть след. правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали м-цы, и в вершинах тр-ков с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположного угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треуг-ков, построенных относительно этой диагонали. Данное правило явл. правилом треуг.

Свойства.

1. Опред. не меняется при транспон-вании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все эл. строки опред. умножить на некот. число k, то сам опред умножится на k.

6. Опред., содерж. 2 пропорц-ные стр. = 0

7. Опред. не меняется, если к эл-там одной из его строк прибавляются соотв-щие эл. др. строки, умноженные на одно и то же число.

5. Определители n-го порядка. Разложение определителя по строке или столбцу. Свойства определителей.

Посредством разложения по эл-там строки или столбца вычисление опр. n-го порядка приводится к вычислению n опр-лей (n — 1)-го порядка. Так, вычисление орп. 5-го порядка приводится к вычислению пяти опр. 4-го порядка; вычисление каждого из этих опр. 4-го порядка можно привести к вычислению четырёх опр. 3-го порядка. Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления опр. практически применим лишь для опр-лей сравнительно небольших порядков.

Теорема о разложении опр-ля по элементам строки. Опр. матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения.

Теорема о разложении опр-ля по элементам столбца. Опр. матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.

Свойства: (билет №4)

6. Экономические задачи, приводящие к системам линейных уравнений. Системы линейных уравнений, Правило Крамера.

Сист. лин. уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Решение сист. уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, …, kn), которая является решением каждого уравнения системы, т. е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2, …, xn дает верное числовое равенство. Решить сист. ур-ний — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто.

Метод Крамера— способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Применение метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю. В таком случае система имеет единственное решение. Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

7. Обратная матрица и её построение. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Обр. матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E. ПОСТОРОЕНИЕ: Пусть А — исходная матрица, обратную к кот. мы хотим найти. n и k — кол-во строк и столбцов в ней соотвественно.

1.  Проверим является ли А квадратной, т. е. совпадают ли n и k.

2.  Проверим равен ли опр-ль мартицы А нулю. Если равен, то обратной матрицы не существует.

3.  Создаем матрицу Inv равную единичной размерности nxn.

4.  При помощи элементарных преобразований приведем матрицу A к единичной. Причем, параллельно, те же самые преобразования будем производить и с матрицей Inv (переставлять и складывать те же строки/столбцы, и умножать на это же число).

5.  В результате, матрица Inv — будет явл. обратной матрицей к исходной матрице A.

Матричный метод. Для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A-1, получим A-1AX= A-1B, откуда EX=X=A-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A-1 и B.

8. Ранг матрицы, метод его нахождения.

Рангом матрицы A называется наибольший из порядков миноров матрицы A, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Ранг матрицы не изменяется, если:

1)  поменять местами любые два парал. ряда

2)  умножить каждый элемент ряда на один и тот же не нулевой множитель

3)  прибавить к элементам ряда соответствующие элементы другого парал. ряда, умноженные на один и тот же множитель.

методы нахождения ранга матрицы:

1.  1) Метод элементарных преобразований. Ранг матр. = числу ненулевых строк в матр. после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

2.  2)Метод окаймляющих миноров

9. Решение сист. лин. ур. методом Гаусса.

Метод Гаусса, (метод последов-го исключ неизвестных). Сущность состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую систему, равносильную данной. При практич. решении системы лин. ур-ний методом Гаусса удобнее приводить к ступ-му виду расширенную матр. этой сист., выполняя эл-рные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.