Шпоры по вышке на печать
1.Функция двух переменных. Определение. Геометрическое изображение.
Граница не входит в область определения. Аналогично определяется количество двух и более переменных. Двух переменных функцию можно изобразить графически. Для этого в (x, y) є Д вычисляется значение z=f(x, y). Тройка чисел (x, y, z) определяет в системе координат О x, y,z некоторую точку Р совокупность точек представляет собой некоторую поверхность которая и явл. графиком функции z=f(x, y). Предел функции в точке. Для функции двух переменных вводиться понятие предела функции, непрерывность аналогично случаю функции одной переменной. Введём понятие окрестность точек. Опр. Множество всех (·)М (x, y), плоскости координаты которых удовлетворяет неравенству √(x-x0)²+(y-y0)²<δ (дельта) наз. дельта окрестностью точки М0 (x0, y0). Другими словами δ окрестности (·) М0 (x0, y0) это внутренние (·) круга с центром М0 и радиусам δ. Опр. Пусть функция z=f(x, y) определена в некоторой окрестности (·) М0 с координатами (x0, y0) кроме самой (·) М0. Числа А – наз. пределом функции z=f(x, y), в(·) М0 то есть при х→ x0, y→ y0 Если для любого множества ε сущ. δ>0, что для всех (·) х, не х≠x0, y≠y0 → неравенство | f(x, y)-А|<ε lim f(x, y)=A(х→x0, y→y0 Геометрический смысл: каково бы ни было число ε надеться δ окрестность в (·)М0, что во всех (·)≠0, аппликаты соответствующих (·)поверхности z=f(x, y), отличаются от числа А, по модулю< чем ε (ипсилон). Если предел сущ. то он не зависит от пути по которому (·)М→ М0. Пр. Найти предел функции. lim x→0 y→0x²-y²/x²+y²=0/0 Пусть (·) М(x, y) приближается к (·)О (0,0) по прямой y=kx lim x→0 y→0x²-y²/x²+y²= lim x→0 y→0 x²-kx²/ x²+kx²= lim x→0 y→0 x²(1-k²)/ x²(1-k²)=1-k²/1+k². Вывод: функция z=x²-y²/x²+y² в (·) О (0,0) придела не имеет, так как при различных значении k разные. Пр. lim x→0 y→0x²+y²/(√x²+y²+1)-1=[0/0]== lim x→0 y→0 (x²+y²)((√x²+y²+1)+1)/((√x²+y²+1)-1) ²)/ ((√x²+y²+1)+1) = lim x→0 y→0 (x²+y²)((√x²+y²+1)+1)/x²+y²+1-1= lim x→0 y→0 (√x²+y²+1)+1)=2 Предел функции двух переменных обладает свойствами аналогичными свойства предела функции одной переменной, то есть: 1. lim (f+g) = lim f+ lim g; 2. lim f*g = lim f*lim g 3. lim f/g = lim f/lim g, lim g≠0 2.Частные производные первого порядка функции двух переменных. Геометрический смысл.
Аналогично fy‘(x0, y0)=tg β. Пр. Найти частное производное. z=3y-ex²-y+1; z’x(y=const)=0- ex²-y(x²-y)’x+0=- ex²-y*2x; z’y(x=const)=3- ex²-y(x²-y)’y+0=3- ex²-y*(-1)= 3+ ex²-y; Пр. z=ln(x²-y³); z’x(y=const)=(1/ x²-y³)*2x; z’y(x=const)= )=(1/ x²-y³)*(-3y²).
Частные производные zx’, zy’ – первого порядка. Частные производные второго порядка ð/ðx (ðz/ðx)=ð²z/ðx²=z»xx ð/ðy (ðz/ðy)=ð²z/ðy²=z»yy ð/ðx (ðz/ðx)=ð²z/ðxðy=z»xy ð/ðx (ðz/ðy)=ð²z/ðyðx=z»yx z»xy, z»yx – наз. смешанные. Аналогично определяются производные частные более высоких порядков. Пр. ð/ðy(ð²z/ðx²) = z»xxy. Если частные производные непрерывны то смеси произв. отличающиеся порядка дифференциалы равны между собой. Пр. Найти частное производное 2 порядка. z=exy² (xy²)x’ =y²*x’ = y²*1; z x’ =exy² *y²; z xx» = (exy² *y²)x’= y²* exy²*y²= y4* exy²; z y’ =exy² *x2y; z yy» = (exy² *x2y)y’= (exy²)y’*2xy+ exy²*(2xy)y’= = exy²*2xy*2xy+ exy²*2x = 2xexy² (2xy²+1); z’xy = exy²*2xy³+ exy²*2y; z’xy = exy²*2xy³+ exy²*2y; Полный дифференциал – функция двух переменных. Полным приращением функции двух переменных называется величина Δf=f(x+Δx, y+Δy)-f(x,y) (1) Главная часть немного приращение линейно зависящая от величины Δx, Δy, называется полным дифференциалом. df=ðf/ðx*dx+ðf/ðy*dy (2) Узнать стоимость за 15 минутРаспродажа дипломных
Подпишись на наш паблик в ВКНужна работа?
|