Учебные материалы по математике | Шпоры по вышке на печать | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Шпоры по вышке на печать


1.Функция двух переменных. Определение. Геометрическое изображение.

DSC09801Опр. Пусть Д некоторое множество (·) М (x, y), є плоскости. Правило f ставящие в соответствие (·) (x, y), определённое единственное число z у множество действительных наз. функцией двух переменных z=f(x, y) – функция двух переменных, где (x, y) – независимая переменная, z – функция. Множество Д – наз. Областью определения функции множество є состоящая из чисел {z є |B, для которых z=f(x, y)} наз. областью значений. Пр. Правило f: (x, y)―> (x²-y²) ставящие в соответствие каждая пара (x²-y²) определяет функцию двух переменных z=x²-y². Пр. Найти область определение функции двух переменных и изобразить на плоскость z = 1/√1-x²-y² Д (z): пару чисел {(x, y):1-x²-y²>0} 1- x²-y²>0; 1> x²+y² построим границу области 1= x²+y² — окружность цент О, радиус 1. (·)(0,0)→ 1,0²+0² — верно. Область определения явл. (·)лежащей в нутрии границы.

Граница не входит в область определения. Аналогично определяется количество двух и более переменных. Двух переменных функцию можно изобразить графически. Для этого в (x, y) є Д вычисляется значение z=f(x, y). Тройка чисел (x, y, z) определяет в системе координат О x, y,z некоторую точку Р совокупность точек представляет собой некоторую поверхность которая и явл. графиком функции z=f(x, y).

Предел функции в точке. Для функции двух переменных вводиться понятие предела функции, непрерывность аналогично случаю функции одной переменной. Введём понятие окрестность точек. Опр. Множество всех (·)М (x, y), плоскости координаты которых удовлетворяет неравенству √(x-x0)²+(y-y0)²<δ (дельта) наз. дельта окрестностью точки М0 (x0, y0). Другими словами δ окрестности (·) М0 (x0, y0) это внутренние (·) круга с центром М0 и радиусам δ. Опр. Пусть функция z=f(x, y) определена в некоторой окрестности (·) М0 с координатами (x0, y0) кроме самой (·) М0.

Числа А – наз. пределом функции z=f(x, y), в(·) М0 то есть при х→ x0, y→ y0

Если для любого множества ε сущ. δ>0, что для всех (·) х, не х≠x0, y≠y0 → неравенство | f(x, y)-А|<ε lim f(x, y)=A(х→x0, y→y0

Геометрический смысл: каково бы ни было число ε надеться δ окрестность в (·)М0, что во всех (·)≠0, аппликаты соответствующих (·)поверхности z=f(x, y), отличаются от числа А, по модулю< чем ε (ипсилон). Если предел сущ. то он не зависит от пути по которому (·)М→ М0.

Пр. Найти предел функции. lim x→0 y→0x²-y²/x²+y²=0/0

Пусть (·) М(x, y) приближается к (·)О (0,0) по прямой y=kx

lim x→0 y→0x²-y²/x²+y²= lim x→0 y→0 x²-kx²/ x²+kx²= lim x→0 y→0 x²(1-k²)/ x²(1-k²)=1-k²/1+k². Вывод: функция z=x²-y²/x²+y² в (·) О (0,0) придела не имеет, так как при различных значении k разные.

Пр. lim x→0 y→0x²+y²/(√x²+y²+1)-1=[0/0]== lim x→0 y→0 (x²+y²)((√x²+y²+1)+1)/((√x²+y²+1)-1) ²)/

((√x²+y²+1)+1) = lim x→0 y→0 (x²+y²)((√x²+y²+1)+1)/x²+y²+1-1= lim x→0 y→0 (√x²+y²+1)+1)=2

Предел функции двух переменных обладает свойствами аналогичными свойства предела функции одной переменной, то есть:

1. lim (f+g) = lim f+ lim g;

2. lim f*g = lim f*lim g

3. lim f/g = lim f/lim g, lim g≠0

2.Частные производные первого порядка функции двух переменных. Геометрический смысл.

DSC09804Пусть задана функция z=f(x, y), дадим независимой переменной х. приращение Δx, сохраняя значение у неизменным, тогда z, получим приращение, которое наз. частным приращением z по x. Обозначим Δxz; Δxz=(x+Δx, y)-f(x, y). Аналогично приращение по у: Δуz; Δуz=(x+нx, y)-f(x, y). Полное приращение Δz=f(x+Δx, y+Δy)-f(x, y). Если сущ. предел lim Δx→0 Δуz/Δx= lim Δx→0 f(x+Δx, y)-f(x, y), то он наз. частной производной функции z=f(x, y), по переменной х. Обозначается zx’, ðz/ðx, fx'(x, y). Аналогично определяется частное по у (производная). Обозначается zу’, ðz/ðу…Частные производные функции z находятся как производные функции одной переменной при условии, что другая переменная остается константой. Частные производные находятся по формулам и правилам для функции одной переменной. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Графиком функции z=f(x, y) явл. некоторая поверхность. Графиком функции z=f(x,y0) – есть линия пересечения этой поверхностью с плоскостью, которая || плоскости ох z. Исходя из геометрического смысла производны для функции одной переменной fx‘(x0, y0)=tg L, где L угол между осью ox и касательной проведённой у кривой z=f(x, y0) в (x0, y0, z0)M0.

Аналогично fy‘(x0, y0)=tg β.

Пр. Найти частное производное.

z=3y-ex²-y+1; z’x(y=const)=0- ex²-y(x²-y)’x+0=- ex²-y*2x;

z’y(x=const)=3- ex²-y(x²-y)’y+0=3- ex²-y*(-1)= 3+ ex²-y;

Пр. z=ln(x²-y³);

z’x(y=const)=(1/ x²-y³)*2x;

z’y(x=const)= )=(1/ x²-y³)*(-3y²).

DSC09802DSC098033.Частные производные высших порядков функции двух переменных.

Частные производные zx’, zy’ – первого порядка. Частные производные второго порядка

ð/ðxzx)=ð²zx²=z»xx

ð/ðyzy)=ð²zy²=z»yy

ð/ðxzx)=ð²zxðy=z»xy

ð/ðxzy)=ð²zyðx=z»yx

z»xy, z»yx – наз. смешанные.

Аналогично определяются производные частные более высоких порядков.

Пр. ð/ðy(ð²z/ðx²) = z»xxy. Если частные производные непрерывны то смеси произв. отличающиеся порядка дифференциалы равны между собой.

Пр. Найти частное производное 2 порядка.

z=exy² (xy²)x’ =y²*x’ = y²*1;

z x’ =exy² *y²; z xx» = (exy² *y²)x’= y²* exy²*y²= y4* exy²;

z y’ =exy² *x2y; z yy» = (exy² *x2y)y’= (exy²)y’*2xy+ exy²*(2xy)y’=

= exy²*2xy*2xy+ exy²*2x = 2xexy² (2xy²+1);

z’xy = exy²*2xy³+ exy²*2y; z’xy = exy²*2xy³+ exy²*2y;

Полный дифференциал – функция двух переменных. Полным приращением функции двух переменных называется величина Δf=f(xx, yy)-f(x,y) (1)

Главная часть немного приращение линейно зависящая от величины Δx, Δy, называется полным дифференциалом. dffx*dxfy*dy (2)

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод