Шпоры по вышке на печать

1.Функция двух переменных. Определение. Геометрическое изображение.

Опр. Пусть Д некоторое множество (·) М (x, y), є плоскости. Правило f ставящие в соответствие (·) (x, y), определённое единственное число z у множество действительных наз. функцией двух переменных z=f(x, y) – функция двух переменных, где (x, y) – независимая переменная, z – функция. Множество Д – наз. Областью определения функции множество є состоящая из чисел {z є |B, для которых z=f(x, y)} наз. областью значений. Пр. Правило f: (x, y)―> (x²-y²) ставящие в соответствие каждая пара (x²-y²) определяет функцию двух переменных z=x²-y². Пр. Найти область определение функции двух переменных и изобразить на плоскость z = 1/√1-x²-y² Д (z): пару чисел {(x, y):1-x²-y²>0} 1- x²-y²>0; 1> x²+y² построим границу области 1= x²+y² — окружность цент О, радиус 1. (·)(0,0)→ 1,0²+0² — верно. Область определения явл. (·)лежащей в нутрии границы.

Граница не входит в область определения. Аналогично определяется количество двух и более переменных. Двух переменных функцию можно изобразить графически. Для этого в (x, y) є Д вычисляется значение z=f(x, y). Тройка чисел (x, y, z) определяет в системе координат О x, y,z некоторую точку Р совокупность точек представляет собой некоторую поверхность которая и явл. графиком функции z=f(x, y).

Предел функции в точке. Для функции двух переменных вводиться понятие предела функции, непрерывность аналогично случаю функции одной переменной. Введём понятие окрестность точек. Опр. Множество всех (·)М (x, y), плоскости координаты которых удовлетворяет неравенству √(x-x0)²+(y-y0)²<δ (дельта) наз. дельта окрестностью точки М0 (x0, y0). Другими словами δ окрестности (·) М0 (x0, y0) это внутренние (·) круга с центром М0 и радиусам δ. Опр. Пусть функция z=f(x, y) определена в некоторой окрестности (·) М0 с координатами (x0, y0) кроме самой (·) М0.

Числа А – наз. пределом функции z=f(x, y), в(·) М0 то есть при х→ x0, y→ y0

Если для любого множества ε сущ. δ>0, что для всех (·) х, не х≠x0, y≠y0 → неравенство | f(x, y)-А|<ε lim f(x, y)=A(х→x0, y→y0

Геометрический смысл: каково бы ни было число ε надеться δ окрестность в (·)М0, что во всех (·)≠0, аппликаты соответствующих (·)поверхности z=f(x, y), отличаются от числа А, по модулю< чем ε (ипсилон). Если предел сущ. то он не зависит от пути по которому (·)М→ М0.

Пр. Найти предел функции. lim x→0 y→0x²-y²/x²+y²=0/0

Пусть (·) М(x, y) приближается к (·)О (0,0) по прямой y=kx

lim x→0 y→0x²-y²/x²+y²= lim x→0 y→0 x²-kx²/ x²+kx²= lim x→0 y→0 x²(1-k²)/ x²(1-k²)=1-k²/1+k². Вывод: функция z=x²-y²/x²+y² в (·) О (0,0) придела не имеет, так как при различных значении k разные.

Пр. lim x→0 y→0x²+y²/(√x²+y²+1)-1=[0/0]== lim x→0 y→0 (x²+y²)((√x²+y²+1)+1)/((√x²+y²+1)-1) ²)/

((√x²+y²+1)+1) = lim x→0 y→0 (x²+y²)((√x²+y²+1)+1)/x²+y²+1-1= lim x→0 y→0 (√x²+y²+1)+1)=2

Предел функции двух переменных обладает свойствами аналогичными свойства предела функции одной переменной, то есть:

1. lim (f+g) = lim f+ lim g;

2. lim f*g = lim f*lim g

3. lim f/g = lim f/lim g, lim g≠0

2.Частные производные первого порядка функции двух переменных. Геометрический смысл.

Пусть задана функция z=f(x, y), дадим независимой переменной х. приращение Δx, сохраняя значение у неизменным, тогда z, получим приращение, которое наз. частным приращением z по x. Обозначим Δxz; Δxz=(x+Δx, y)-f(x, y). Аналогично приращение по у: Δуz; Δуz=(x+нx, y)-f(x, y). Полное приращение Δz=f(x+Δx, y+Δy)-f(x, y). Если сущ. предел lim Δx→0 Δуz/Δx= lim Δx→0 f(x+Δx, y)-f(x, y), то он наз. частной производной функции z=f(x, y), по переменной х. Обозначается zx’, ðz/ðx, fx'(x, y). Аналогично определяется частное по у (производная). Обозначается zу’, ðz/ðу…Частные производные функции z находятся как производные функции одной переменной при условии, что другая переменная остается константой. Частные производные находятся по формулам и правилам для функции одной переменной. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Графиком функции z=f(x, y) явл. некоторая поверхность. Графиком функции z=f(x,y0) – есть линия пересечения этой поверхностью с плоскостью, которая || плоскости ох z. Исходя из геометрического смысла производны для функции одной переменной fx‘(x0, y0)=tg L, где L угол между осью ox и касательной проведённой у кривой z=f(x, y0) в (x0, y0, z0)M0.

Аналогично fy‘(x0, y0)=tg β.

Пр. Найти частное производное.

z=3y-ex²-y+1; z’x(y=const)=0- ex²-y(x²-y)’x+0=- ex²-y*2x;

z’y(x=const)=3- ex²-y(x²-y)’y+0=3- ex²-y*(-1)= 3+ ex²-y;

Пр. z=ln(x²-y³);

z’x(y=const)=(1/ x²-y³)*2x;

z’y(x=const)= )=(1/ x²-y³)*(-3y²).

3.Частные производные высших порядков функции двух переменных.

Частные производные zx’, zy’ – первого порядка. Частные производные второго порядка

ð/ðx (ðz/ðx)=ð²z/ðx²=z»xx

ð/ðy (ðz/ðy)=ð²z/ðy²=z»yy

ð/ðx (ðz/ðx)=ð²z/ðxðy=z»xy

ð/ðx (ðz/ðy)=ð²z/ðyðx=z»yx

z»xy, z»yx – наз. смешанные.

Аналогично определяются производные частные более высоких порядков.

Пр. ð/ðy(ð²z/ðx²) = z»xxy. Если частные производные непрерывны то смеси произв. отличающиеся порядка дифференциалы равны между собой.

Пр. Найти частное производное 2 порядка.

z=exy² (xy²)x’ =y²*x’ = y²*1;

z x’ =exy² *y²; z xx» = (exy² *y²)x’= y²* exy²*y²= y4* exy²;

z y’ =exy² *x2y; z yy» = (exy² *x2y)y’= (exy²)y’*2xy+ exy²*(2xy)y’=

= exy²*2xy*2xy+ exy²*2x = 2xexy² (2xy²+1);

z’xy = exy²*2xy³+ exy²*2y; z’xy = exy²*2xy³+ exy²*2y;

Полный дифференциал – функция двух переменных. Полным приращением функции двух переменных называется величина Δf=f(x+Δx, y+Δy)-f(x,y) (1)

Главная часть немного приращение линейно зависящая от величины Δx, Δy, называется полным дифференциалом. df=ðf/ðx*dx+ðf/ðy*dy (2)

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.