Шпоры по вышке для второго курса

1.  Элементы комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания).

1)  Размещениями из n эл-тов по m (m<n) наз подмнож-ва, сост из m эл-тов и отлич-ся друг от друга эл-тами или порядком их расположения. Число размещений:

; .

2)  Перестановки – размещения из n эл-тов по n, т. е. кот отлич-ся порядком расположения эл-тов: ; .

3)  Сочетаниями из n эл-тов по m (m<n) наз таккие размещения из n эл-тов по m, кот отлич-ся только эл-тами, т. е. порядок расположения не учитывается: ; ; ; ; ; 0!=1.

2.  Событие. Виды случайных событий.

Событие (C)– результат опыта, испытания или наблюдения.

Достоверное С – при испытании наступит ().

Невозможное С – при испытании не наступит ().

Случайное С – при испытании может наступить/не наступить (А, В,С).

Несовместные события А и В, если появление 1 из них исключает появление другого С при одном и том же испытании. В противном случ – совместные С.

Единственно-возможные С – если при испытании наступит хотя бы 1 из этих событий.

Равновозможные С – если при испытании они имеют одинаковую возможность появиться.

Противоположные С – 2 события единственно-возможных и несовместных.

3.  Классическое и статистическое опред вер-ти. Св-ва.

Вер-тью (классич) события А наз-ся отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу всех случаев: р(А)=m/n, где m – благоприятств случаи, а n – общее число всех случаев. Св-ва: 1) ; 2) ;

3) 0.

Статистич вер-ть – число, вокруг кот группируются частости при достаточно большом числе испытаний.

Частота события А – число появлений события А при n испытаниях.

Относит частота / частость – отнош частоты к общему числу произведенных испытаний: w(A)=m/n.

4.  Теорема сложения вер-тей несовместных событий.

Суммой 2-х С А и В наз-ся событие А+В, состоящее в появлении хотя бы 1 из этих событий. Если А и В несовм события, то вместе появиться они не могут.

Суммой 2-х несовм событий наз-ся событие, сост в появлении 1 из 2-х событий А или В.

Т: вер-ть появления 1 из 2-х несов событий = сумме вер-тей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

События А1, А1, …, Ап образуют полную систему событий, если они единственно возможны и попарно несовместны, т. е. если наступает только 1 из этих событий.

Т: сумма вер-тей событий, образ-щих полную систему событий = 1: Р(А1)+Р(А2)+…+Р(АП)=1.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) – для совместных

5.  Зависимые и независимые события. Условная вер-ть.

События А и В незав, если вер-ть появления одного из них не зав от того, наступило др событие или нет. В противном случае события зависимые.

Вер-ть события В, вычисленная в предположении, что А наступило, наз-ся условной вер-тью события В: или Р(В/А).

6.  Теорема умножения вер-тей зав и незав событий.

Произвед событий А и В наз событие А*В, сост-щее в совместном появлении этих событий.

Т: вер-ть совместного появления 2-х зав событий = произвед вер-ти 1 из них на условную вер-ть др, вычисл в предполож, что первое событие наступило: Р(АВ)=Р(А)*, Р(АВ)=Р(В)*.

Частный случай: если события А и В незав, то условная вер-ть и Р(А*В)=Р(А)*Р(В).

7.  Ф-ла полной вер-ти.

Т: пусть событие В может наступить вместе с 1 из несовм событий А1, А2, …, Ап, кот образ полную систему событий, тогда и события А1, А2, …, Аn наз-ся гипотезами / предположениями.

8.  Ф-ла Байеса.

Пусть событие В может наступить вместе с 1 из несовм событий А1, А2, …, Ап, кот образуют полную систему событий. Вычислим вер-ти при условии, что В произошло: , і=. По т умнож вер-ти зав событий: : Р(АіВ)=Р(Аі)*=Р(В)*;

, где р(в) по ф-ле полной вер-ти

– ф-ла Байеса

9.  Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Вел-на, кот принимает значение в зав-ти от случайных обстоятельств наз-ся случайной. Случ вел-ны обозначают: X, Y, Z, а их значение: x, y, z, a, b.

Случ вел-на наз-ся дискретной, если она принимает отд изолир-е значение с опред вер-тью. Число знач д. с.в может быть конечным или счетным.

Случ вел-на, кот принимает знач из некоторого промежутка наз-ся непрерывной.

Множ-ва всевозможных значений д. с.в. и соотв-щих им вер-тей наз-ся з-ном распред дискр случ вел-ны. Он может быть задан: 1) в виде таблицы распред-я; 2) графически, в виде многоугольника распред-я вер-тей; 3) аналитически, в виде ф-ции распред-я.

10. Функция распределения и ее свойства.

Ф-цией распред случ вел-ны наз-ся вер-ть события X<x где и обознач-ся F(x), F(x)=p(X<x).

Ф-ция распред явл-ся универс как для д. с.в так и для н. с.в.

Св-ва ф-ции распред-я: 1) F(x) – вер-ть, поэтому , для любого ; 2) ф-ция распред не убывает, т. е. для всех a<b F(b)≥F(a); 3) , ; 4)ф-ция распред непрерывна слева: ; 5) р(Х=а)=0.