Шпоры по теории вероятности и математической статистике

Преобраз Лапл:

ф Оригинал, если: f: R-> C (tЄR, f(t)ЄC)

1) f(t)=0 при t<0 2) ∫0a|f(t)|dt – f(t)абс интегр на [0,a] a>0

3)Cущ числа M>0, SЄR t>=0: |f(t)|’ <=MeSt для t>to

Пр: ф Хевис: X(t)={0,t<0 =1, t>=0}

Св-ва: X(t)=0 при t<0

∫0a|X(t)dt| = ∫0a1dt = a, |X(t)|=|1|<=2e0t M=2,s=0,t0=0

Пр2:

f(t)= 2e3t Cos2t X(t) = {=2e3t Cos2t, t>0, =0, t<0}

ƒ(t)=f(t)X(t) ={f(t), t>=0, =0 , t<0}

вып св-ва 1)-3)

Пр3: f(t)=X(t)/t: св-во 2) ∫0a|X(t)/t|dt=∫0adt/t, t>=0:

=lim ∫0adt/t = lim ln(t)|ba=lim(lna-lnb)=∞ — расход

Пр4: f(t)=et^2 : 3) |f(t)|<=MeSt, |f(t)|/ eSt= M

lim|f(t)|/ eSt = lim et^2 / eSt = lim et^2 — St =limet(t-s) =lim e∞ =∞

не вып – не ориг

Если F(p) ориг — F(p)= ∫0∞f(t)e-pt dt Изображ

СВ—ва 1) у кажд ориг f(t) есть изобр F(p) ,т. к. если вып усл 1)-3) –то ∫0∞f(t)e-pt dt – сход

2)разн ориг соотв разн изобр. Т о единств Из:

f(t), g(t) –ориг: F(p)=∫0∞f(t)e-pt dt=∫0∞g(t)e-pt dt => f(t)=g(t)

3)Множ всех ориг обр лин простр: люб α,βЄC и ориг f, g

h(t)= αf(t)+βg(t) – оригинал.

Отобр L из простр ориг в простр изобр :

f(t)-> F(p)=∫0∞f(t)e—pt dt наз преобраз Лапласа:

L[f(t)]=F(p) или f(t)÷> F(p)

Св-ва преобраз Лапл:

1)Линейность L: люб α,βЄC, αf+βg -> αF(p)+βG(p)

f(t) -> F(p), g(t)÷> G(p)

2) Теор подоб: люб r>0(rЄR) f(rt)÷> 1/r F(p/r)

3) Теор смещения: люб αЄC eαtf(t)÷> F(p-α)

f(t-r)={f(t-r),t>=r, = 0 , t<r}=f(t-r)*X(t-r)

4) Т Запаздыв: люб r>0(rЄR) f(t-r)÷> e-rpF(p)

5) Дифференц ориг: f(t),f'(t),f’'(t)…оригин, то

f(t)÷> F(p), f ‘(t)÷>pF(p)-f(0), f »(t)÷> p2 F(p)-pf(0)-f ‘(0)

f(n)(t)÷> p(n) F(p)-p(n-1) f(0)-p (n-2)f ‘(0)…- pf (n-2)(0)-f(n-1)(0)

6) Диффер изображ

f(t) ÷> F(p), тогда (-t)f(t) ÷> F'(p), (-1)n tn f(t) ÷> F(n)(p)

7) Интегрир ориг: ∫0t f(τ)dτ ÷> F(p)/p

8) Интгрир изображ:

∫р∞ F(z)dz –сход: то f(t)/t ÷>∫р∞ F(z)dz

9) Σ e-(n-1)Tp F1(p)= eTp / eT-1 F1(p)

10) (f*g)(t)÷> F(p)G(p)

11) f(0)g(t)+(f ‘*g)(t)÷> pF(p)G(p)

Пр: f1(t)= t-(X(t-1)(t-1)+X(t-1))

F1(p)=1/p2 – (e-p1/p2 + e-p1/p)

f2(t)=X(t-1)-X(t-2) , F2= e-p 1/p — e-2p 1/p

f(t)=f1+f2, F(p)=F1(p)+F2(p)= 1/p2 – e-p/p2 — e-p/p

+ e-p /p — e-2p /p =pe-2p — e-p +1 /p2

Изобр периодич ф-ии f(t)= {x}

T=1, fn(t)=f1(t-(n-1)T)=f1(t-(n-1))÷>e-(n-1)p F1(p)

f(t) = Σfn(t) ÷> Σ e-(n-1)p F1(p)= F1(p) Σ e-(n-1)p= F1(p)/1-e-p =

= F1(p) e-p /e-p -1, F1(p)=1/p2 –(e-p /p2 + e-p /p), F=…

Таблица основных оригиналов и изображений.

1 ¸1/p; elt ¸1/(p-l); tn ¸n!/pn+1; tn eαt ÷ n!/(p-α)n+1,

sinwt ¸w/(p2+w2); Coswt ¸p/(p2+w2);

eαt sinwt ¸w/(p-α)2+ω2; eαt Coswt ¸p-α/(p-α)2+ω2

shwt ¸w/(p2-w2); chwt ¸p/(p2-w2);

tsinwt ¸2wp/(p2+w2)2; tcoswt ¸(p2-w2)/(p2+w2)2;

tshwt ¸2wp/(p2-w2)2; tchwt ¸(p2+w2)/(p2-w2)2.

Свертка функций

f(t), g(t) интегр на люб конечн отр [0,a] or [a,0]:

h(t)=(f*g)(t)=∫0t f(u)g(t-u)du – симметричная Оп:

h(t)=(g*f)(t)=∫0t f(t-u)g(u)du

Борель(св-во 10) Если f(t) и g(t) оригиналы => их сверт:

(f*g)(t)- оригинал, причем: (f*g)(t)÷>F(p)*G(p)(изображ)

сверт оригин влечет умнож изобр.

Пр: f(t)*g(t)=tet ÷>1/(p-1)2≠F(p)*G(p), f(t)=t÷>1/p2,

g(t)= et ÷>1/p-1, h(t)=(f*g)(t)=∫0t(t-u)eudu=t∫0teudu-∫0tueudu=tet-t-tet+0+et-1. H(p)=F(p)*G(p)=1/(p-1)+1/p2-1/p

Св-во 11: Дюамеля: f и g оригин, F(p)G(p) их изобр:

pF(p)G(p)<÷f(0)g(t)+(f’*g)(t)=f(t)g(0)+(f*g’)(t)

Пр:F(p)=p/(p2+1)2=p*1/(p2+1)*1/(p2+1)<÷ g(0)g(t)+(f’*g)(t) ={g(t)=h(t)=Sint, g’(t)=Cost}

= Sin0Sint+∫ Cos(t-u)Sinu du=t/2 Sint

Прилож Оп исчисл

1)Обыкн деф Ур: x»-2x’+2x=2t-2, x(0)=x'(0)=0 нулев НУ

А)Частн реш: x(t)÷>X(p), x'(t)÷>pX(p)-x(0)=pX(p)

x»(t)÷> p2X(p)-px(0). Подст деф ур:

p2X(p)-2 pX(p)+ 2X(p)=2/p2-2/p

t÷>1/p2, 1÷>1/p. X(p)(p2-2p+2)=2*(1-p)/p2

X(p)= 2*(1-p)/p2 /(p2-2p+2)= A/p+B/p2+(Cp+D)/(p2-2p+2)=

=Ap(p2-2p+2)+B(=1)(p2-2p+2)+ Cp3+Dp2/( p2 (p2-2p+2)) =

{p3 : A+C=0 -> C=0, p2: -2A+1+D=0 -> D=-1, p: 2A-2=-2 Св: 2=2.} = 1/p2 – 1/( p2-2p+2) = X(p)<÷x(t)=t-etSin t,

x'(t)=1-etSint-etCost, x»(t)=-e(Sint+Cost)-et(Cost-Sint)=-2etCost-2+2et(Sint-Cost)+2t

В) Общее реш: x(t)÷>X(p), x'(t)÷>pX(p)-a,

x»(t)÷> p2X(p)-ap-b

X(p) (p2-2p+2)+2a-2pa-2b=2(1-p)/ p2 <÷ t-etSint+2aetСost+2betSint= t+et((2b-1)Sint+2aCost)

2)Сист деф ур: {x’+y=2et, y’+x = 2et, x(0)=y(0)=1}

x(t)÷>F(p), x'(t)÷>pF(p)-1, y(t)÷>G(p), y'(t)÷>pG(p)-1

2et ÷> 2/p-1. { pF-1+G=2/p-1, pG-1+F=2/p-1…..F=G

F=1/p-1<÷ x(t)=et, G=1/p-1<÷ y(t)=et

3) Интегральн ур: x(t)- ∫0t (t-u)x(u)dt=Sint =x(t)-tx(t)

{x(t)÷>F(p), t÷>1/p2, Sint÷>1/(p2+1), tx(t) ÷> 1/p * F}

÷> F-F/p2=1/(p2+1), F(p2-1/ p2)=1/( p2+1),

F=p2/( p2+1)( p2-1) = a/(a+1)(a-1)=0.5/a+1 + 0.5/a-1=

=1/2(1/( p2+1) + 1/( p2-1)). F<÷ x(t) = ½(Sint+Sht)

Эл-ты комбинаторики:

Перестановка из n эл. Pn=n! 1) 1 место-1 эл 2)эл разные 3) эл не повтор 4) Важен порядок эл.

(пр: 5*4*3*2*1=5!)

Размещен из n эл по k эл(k<=n) Akn=n!/(n-k)!

Соблюд 1)2)3)4). Если 3) наруш => nk

Сочетан из n эл по m эл-та: Cmn=n!/(n-m)!m!

св-ва 1)2)3), 4) не важ порядок

Случ События

Событ — всякий факт, кот может произ или нет в рез опыта. Прост и Сложн. Виды:

Iт. з: достов(уже произ, всегда происх), невозм, случайн. II т. з.: Совместн(наступл 1 не искл наступл др), Несовм

III т. з.: Зависимы (вер хатяб 1 из событ завис от наступл др соб), Независ (вер наст кажд не завис от того произ или нет др соб)

Алгебра: Против событ – A не происх

1) A+B: ИЛИ – происх хотяб 1 или оба

2) A*B: И(а, но) – всегда оба

Вер-ти:

Вер соб А — матем оц возможности появл этого соб в рез опыта. Исход опыта явл благопр соб А, если появл в рез опыта этого исхода влеч за собой появл соб А.

Р= m/n = благопр/ко всем исходам (классич опред)

Классич опред неприм к испыт с ∞ исход->ввод понятие геометр вер, т. е. вер попад т в отрезок или часть плоск (пространства).Так если на отр длин L выделен отрезок l, то вер попад наугад взятой т в отрез l равна l/L.

P(A/B) версобытия А вычисл в предпол, что соб В наступило, называется условн вер

Св-ва: 1) 0≤Р≤1, 2) р=0 – невозм, р=1 – достов

Теор: 1) р(A*B) = {p(A)*p(B) для независ A, B,

P(A)*p(B|A) =p(B)*p(A|B) для завис}

(Пр: шары 3б,5ч,7к цв: возвр в корз, не возвр в корз)

2)P(A+B)= {p(A)+p(B) несовм, p(A)+p(B)-p(A*B) совм}

3)P(Ā)=1-p(A) , Ā и A – несовм: P(Ā+A)= P(Ā)+P(A)=1

Формул полн вер: p(A)=Σp(Hi)*p(A|Hi) гипотезы Hi, i=1,n образ поолн гр событ

Док-воТ. к. события H1…Hn образ полн гр соб, то собА можно предств виде суммы:A=AH1+…+AHn.

Т. к. соб H1…Hn несовм, то и соб AHi тоже несовм. Можно примен теор о слож вер несовм соб:P(A)ΣP(AHi)

При этом P(AHi)=P(Hi)P(A|Hi) Окончат получ формулу

Полн гр соб: ΣHi=1, событ достоверн, попарно несовм

P(Hi|A) — вер того что событие с гипотезы Hi

Ф. Баеса: P(Hi|A)=p(Hi)*p(A|Hi)/p(A)

Пр: 30 студ:5-20 вопр(все),15-18 вопр, 7-15 вопр,3-10 вопр выуч. А – студ ответ на экзамене. P(H4|A)-?

P(H1)=5/20….p(A|H1)=20/20….

p(A)=5*20+15*18+7*15+3*10/30*20=505/600

P(H4|A)=3*10/505

Схема Бернули: n-кол одинак испыт, в кажд р(А) равны

q=1-p, m — кол раз наступ А в n испыт.

Pn(m)=Cnmpmqn-m Cnm=n!/(n-m)!m!

Пр: за год 10% стан лом, 5 стан, вер что за год 4 стан оч годн, не менее 4 -?. N=5, A-годный стан, p=1-1/10=9/10, q=1/10, P5(4)=C45p4q1 , P5(m>=4)=p5(4)+p5(5)

Ф Пуассона: n>>, p<<(q<<), a=np, npq<10

Pn(m)≈ame-a/m!

Пр: p(A)=2/1000 A-брак, n=500, m=2. a=1 q=0.998

Npq=0.998<10, P500(2)≈12e-1/2!=1/2e

Локал т Лапласа: n>>, p[0.25,0.75], n>100, npq>20

X=m-np/√npq, φ(x)=1/√2π * e-x^2/2 гаусово норм распред

Pn(m)=1/√npq * φ(x)

Пр: p(A)=0/75, A-своевр вып заказа, n=160, m=120, q=0.25, npq=30>20 p160(120)=1/√30 * 1/√2π e0

X=-160*3/4 +120 /√30 = 0

Интегр ф Муавра-Лапл: усл те же

Pn(m1<m<m2)=Фo(х2)-Фo(х1)

x1=(m1-np)/√npq, x2=m2/np/√npq

Фо(x)= ∫0x φ(t)dt=1/√2π∫0x e-t^2/2 dt – ф-я Лапласа

Ф-нечетна. Пр: p=0.75, n=160, m>=110, npq=30

X1=110-120/√30=7.3, x2=160-120/√30,

P160(110<m<160)= Фo(7.3)-Фo(-1.82)= Фo(7.3)-Фo(1.82)

Следств:P(|m/n — p|<=E) =2Фo(E√n /√pq)= 2Фo(nE/√npq)

Ф-я норм распред: Ф(x)= ∫-∞x φ(x)dx=1/2 + Фo(x) ->

P(|m/n — p|<=E) = 2Фo(nE/√pnq)= Ф(nE/√npq)-1

Пр: n-?, p=0.03, E<=0.01, P(|m/n — p|<=E)=0.95=2 Фo =>

Фo=0.475 => nE/√npq=1.96 (по табл).

√n*0,01/√0,03*0,95 =1.96 => n=1117.9 =>1118

Cлучайн величины

СВ — Велич прин знач с опред вер-ю

Дискр СВ – все возм знач можно перечисл(их число конечн или безконечн)

НСВ велич, кот мож прин люб знач из некот конечн или бескон промеж, число значений бесконечно.

Зак распред ДСВ – табл со всевозм знач и их вер.Σp=1 (аналитич-табл и графич — многоугол)

Форм Бернули- бином з-н распредел Pn(m)=Cnmpmqn-m

Числ Хар-ки ДСВ

1) Мат ож: M(x)=Σpixi в средн из n попыток сколько раз произ Х – ср арифм знач Х Мат ож сущ, если ряд, сход абсол. Св-ва: M(C)=C, M(CX)=CM(x),M(XY)=M(X)M(Y), M(X+Y)=M(X)+M(Y)

2) Дисперс мат ож – D(x)=M[x-M(x)]2=M(x2) — (M(x))2

D(X)=Σ(xi-M)2pi = Σxi2pi – M2 >=0

Св-ва: D(C)=0, D(CX)=C2D(x), D(X+Y)=D(X)+D(Y), D(X-Y)=D(X)+D(Y). D(X)=npq (появл соб A в n испыт)

3)Cр квадр отклонен – σ(X)=√D(x),

σ(X1+X2+…)=√ σ2(X1)+ σ2(X2)+..

F(x) – Распредел ДСВ

Пусть х – действ чис. Вер соб, сост в том, что при знач не меньше Х < x, обозначим через F(x):

F(a)=P(X<a), aЄR Также наз Интегральн

Св-ва для ДСВ и НСВ:

F(x)возраст нестрого, ступенч

F(-∞)=0, F(+∞)=1

Непрер слева для ДСВ

Разрыв в т, где ДСВ прин знач

Высота скачка=P(Xi)

НСВ – имеет непрер F(X).

1) P(x<a)=F(a), P(x<=a)=F(a)+P(x=a): ДСВ – P(x=a)=F(a),

НСВ – P(x=a)=0 => P(x<a)=P(x<=a)=F(a)

2)P(x>=a)=1-P(x<a)=1-F(a)(для всех СВ)

P(x>a) = 1- P(X<=a) = 1 — F(a)- P(x=a)

3)P(a<=X<b) = F(b) — F(a),

P(x<b)=P(X<a or a<=x<b)=F(b)= F(a) + P(a<=X<b)

4)P(a<=X<=b) = P(a<=X<b or x=b)= F(b)- F(a)+ P(x=b)

5)P(a<X<b)= P(a<=X<b)-P(x=a)=F(b)-F(a)-P(x=a)

6) P(a<X<=b)=F(b)-F(a)+P(x=b)-P(x=a)

НСВ

По ф распред трудно судить о хар распред св в небол окрестн т числ оси.

Плотн распр вер НСВ Х — функция f(x) = F'(X)

дифференциальной функцией.(не для ДСВ)

Смысл f(x) : показ как часто появл Х в некот окрестн т х при повторении опытов.

СВ- Х —непрер, если ее ф распред F(x) непрер на всей оси ОХ, а плотн распр f(x) сущ везде, за искл ( м б, конечного числа т.

Пр: f(t)={1/b-a, 0. F(t)=∫-∞tf(u)du=∫-∞t0du=0,

= ∫-∞af(u)du+∫atf(u)du = 0+∫atdt/b-a = t-a/b-a(t=a, b),

= ∫-∞af(u)du+∫abf(u)du ∫btf(u)du = 0+b-a/b-a+0=1(t=b,+∞)}

Св-ва f(t): F(t)=∫-∞tf(u)du

f(t)>=0, f(+-∞)=0,

∫-∞+∞f(u)du=F(+∞)=1 (S под граф f(t) всегда = 1)

If x=НСВ: (Люб C из R): [P(X=C)=0]: В общ случ –P(X=C)=F(C+0)-F(C-0) – скачок в т. C

Пр: P(X=1)= F(1+0) – F(1-0)= ¾ — ½ = ¼

P(X<a)=F(a)=∫-∞af(t)dt , P(X<=a)=P(X<A)+P(X=a)=F(a)

P(X>=b)=1-P(X<b)=1-F(b)= ∫-∞+∞ -∫-∞b = ∫b∞f(t)dt

P(a<=X<=b) F(b)-F(a)=∫abf(t)dt ( Геом это озн, что вер того, что НСВ прим знач из (a, b), равна площ кривол трапец, огранич осью ОХ, f(x) x=a и x=b).

Числ Хар ДСВ

f(t)=p(t) – плотн вер-ти.

M(x)= ∫-∞+∞ x p(x)dx (предпол, что интегр сход)

D(x)= ∫-∞+∞(x-M)2 p(x)dx = ∫-∞+∞ x2 p(x)dx — M2 (мат ожид квадрата отклон)

Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).

Равномерн распред на отр

Опред выше в примере.

M(X)= ∫ab x 1/(b-a)dx = b+a /2

D(X)= ∫ab x2 1/(b-a)dx – (b+a /2)2= (b-a)2/12

σ(X)=√D(x)= b-a / 2√3

Пр: автоб ход точно по расп кажд 20 мин

Нормальн распредел законом Гаусса

Распред НСВ опис плотн вер-ти:

Св-ва норм крив: 1) фун опред на всей числ оси 2) Только положит знач 3) ОХ – гориз асимпт

4) Мах – 1/σ√2π 5) функц симметр относ х=a

1/σ√2π

При a=0, σ=1: ур = нормир кривая 1/√2π e-x^2/2

M(X) = a, D(X)= σ2

M(X)= ∫-∞+∞x 1/ σ√2π e^((x-a)2/2σ2)dx={ t=x-a/σ -> x=tσ+a dx=σdt}= ∫-∞+∞( tσ+a) 1/ σ2π e-t^2/2dt =∫-∞+∞ tσ/σ2π e-t^2/2 + a/ σ2π ∫-∞+∞ e-t^2/2 (ф Лапласа=1)=σ/√2π lim ∫-RRte-t^2/2dt +a= a

D(X)= ∫-∞+∞(x-a)2/ σ√2π e^((x-a)2/2σ2)dx = {t= t=x-a/σ }=

=∫-∞+∞(t2σ2 / σ√2π e-t^2/2dt = {u=t, du=dt, dv = t e-t^2/2dt,

v=∫ t e-t^2/2dt ==∫ e-t^2/2dt t^2/2 = — e-t^2/2}= σ2 / √2π(-te-t^2/2|∞∞+

+∫-∞+∞ e-t^2/2dt)= σ2 / √2π((lim t/ e-t^2/2 — lim t/ e-t^2/2)+

+∫-∞+∞ e-t^2/2dt)=0+σ2

Бином распред (Схем Бернули)-НСВ

n-испыт, А, СВ-Х=кол наст А из n испыт

Х: 0 ,1 ,2 , …, n

P: Pn(o), … ,Pn(n) -> ΣPn(m)=1

Pn(m)=Cnmpmqn-m

M(x)= Σm=0n XmPn(m)=Σ0n mPn(m)=0+ Σm=1n mCnm *pmqn-m = Σ1nm n!/m!(n-m)! * pmqn-m = Σ1n n!/(m-1)!(n-m)! * pmqn-m =

pn Σm=1n (n-1)!/(m-1)!((n-1)-(m-1))! * pm-1q(n-1)-(m-1) =

=pn Σk=0n-1 Cn-1 k pkq (n-1)-k) -> M=pn Σk=0n-1 p (n-1)(k) = np

Сум всех вер в схем Берн с n=n-1

D(X)= Σm=0n Xm2Pn(m) – M2=Σ0n m2Cnm *pmqn-m –(np)2= 0+Σ1nm2 n!/m!(n-m)! * pmqn-m — (np)2=

np [Σ1n m(n-1)!pm-1qn-m /(m-1)!(n-m)! – np] =

np [Σ1n (m-1)(n-1)!+(n-1)! pm-1qn-m /(m-1)!(n-m)! – np] =

np [0+Σm=2n (n-1)!pm-1qn-m /(m-2)!(n-m)! +

Σm=1n (n-1)!pm-1qn-m /(m-1)!(n-m)! – np] =

np [0+Σk=0n-2 (n-1)!pk+1qn-2-k /k!(n-k-2)! +1– np] =

np [(n-1)*pΣk=0n-2 (n-2)!pkqn-2-k /k!(n-k-2)! +1– np] =

=np[(n-1)p+1-np]=np(1-p)=npq

Распред ПУАССОНА

n=∞, P∞(m)=αme-α/ m!, α – фиксир, положит, произв

Х-кол наступл А,

M(X)= Σm=0∞XmPm = Σm=0∞m αme-α/ m! = 0+Σm=1∞ m αme-α/ m!= α Σ1∞ αm-1e-α/ (m-1)! = α Σk=0∞ αke-α/ k! = α Σk=0∞ Pk =α

D(X) = Σm=0∞m2 αme-α/ m! – α2= 0+Σm=1∞ m-1+1αme-α/ (m-1)!= Σ1∞ ((m-1)αm-1e-α/ (m-1)! + 1* αm-1e-α/ (m-1)! ) – α2 =

0 + Σm=2∞ αme-α/ (m-2)! + Σm=1∞ αme-α/ (m-1)! – α2 =

Σk=0∞ αk+2e-α/ k! + Σk=0∞ αk+1e-α/ k! – α2 =

α2 Σk=0∞ Pk + α Σk=0∞ Pk – α2 =α

Закон больш чисел

Груп теорем об устойч ср знач: при больш числе испыт – ср знач предсказ с достат точн-ю

ЦПТ – Гр теор показ, что при общ услов з-н распред Σ болш числа СВ близ к нормал з-ну распред (~N(a,σ2))

1. Лемма Чебыш (Нерав Маркова)

If X — СВ(>=0), Сущ M(X) => (Vε>0) [P(X>=ε)<=M(X)/ε] or [P(X<ε)>=1 — M(X)/ε]

Пр: ср кол вызов пост за 1 час: M(X)=21. Оцен вер-ть, что за час поступ: а) <=35, б) >60 вызов

а) P(X<=35)>=1-21/35>=2/5>=0.4

б) P(X>60)<=21/60≈0.35

2. Нерав Чебышева

If X — СВ(произвольн), Сущ M(X) и D(X) => (Vε>0) [P(|X-M(X)|>=ε)<=D(X)/ε2] or

[P(|X-M(X)|<ε)>=1 — D(X)/ε2]

Пр: сеть обслуж эл. Подстанц в 1 тыс ламп,

P(вкл кажд ламп)=0,6. Вер того что включ одновр [5900,6100] ламп-?

Х — бином зак-н: M(X)=np=10000*0.6=6000

D(X)=npq=6000*0.4=2400

[P(|m-np|>=ε)]<=npq/ε2] –для схем Бернули(Сл1).

5900<=Ч<=6100 — |X-6000|<=100

P(5900<=X<=6100)=P(|X-6000|<=100)=

=P(|X-M(X)|<=100 >= 1- D(X)/ ε2 = 1- 2400/100=0.76

[P(|m/n-p|>=ε)= P(|m-np|>=nε)]<=npq/(nε)2= pq/nε2] –

для схем Берн(Сл2) P(|m/n-p|<ε)]<=1- pq/nε2

3. т-ма Чебышева

Пусть X1,X2…СВ – независ, (Сущ C>0, D(Xi), i из N)

[P(|Σxi /n — ΣMi /n|<ε)>=1- C/n ε2,

Lim(n->∞) P(|Σxi /n — ΣMi /n|<ε)=1]

Cл1: If X1,X2…СВ – независ, одинак, M(Xi)=a, D(Xi)=σ2 (Vε>0)[ P(|Σxi /n — a|<ε)>=1- σ2/n ε2,

Lim(n->∞) P(|Σxi /n — a|<ε)=1]

Cл2: Lim P(|m/n-p|<ε)=1

ЦПТ

X1,X2,…Xn – Независ СВ, одинак распредел

M(Xi)=a, D(Xi)=σ2 , все i из N.

Zn=(Σxi – M(Σxi))/√ D(Σxi) =(Σxi – na))/ σ√n

Тогда: M[Zn]=0, D[Zn]=1, Fzn=P(Zn<t) -> N(0,1)=

=Ф(t)=1/√2π ∫-∞t e-x^2/2dx – ф-я норм распред [0,1]

Cл1: Sn=X1+X2+…Xn ~ N(норм зак распред)

n-большое. M(Sn)~na, D(Sn)~n σ2

Fzn(t)=1/σ√2π∫-∞t e-(x-na)^2/2nσ^2dx

Cл2: (n>10) P(α<Sn<β)≈Ф(β-M(Sn)/σ[Sn]) —

— Ф(α-M[Sn]/σ[Sn])

Cл3: Лок и Интегр т-ма Муавра-Лапл

Сист 2х случ велич

(X, Y)- двум СВ – Дискр и Непрер

ДСВ(X,Y) –Закон Распредел

Табл знач и их вер:

xy y1, y2, … ym Σ

x1 p11 p1m p1=P(X=x1)=Σp1j

x2 p12

xn p1n pnm pn=P(X=xn)=Σpnj

Σ q1 qm

q1=Σpi1=P(Y=y1) ΣΣpij=1

X, Y –независимы: pij=P(X=xi, Y=yj)=P(X=xi)*P(Y=yj)=piqj

x -2 2 y -1 1 3

pi 0.4 0.6 pj 0.5 0.2 0.3

xy -1 1 3 Σ

-2 0.20 0.08 0.12 0.4

2 0.30 0.12 0.18 0.6

Σ 0.5 0.2 0.3 1

Ф-я распределения: F(t,s)=P(X<t И Y<s)

(X, Y)- ДСВ

F(t, s) = Σpij, xi<t, yj<s

1) P(a<=X<b, Y<d)=F(b, d)-F(a, d)

2) P(X<b, c<=Y<d)=F(b, d)-F(b, c)

3) P(a<=X<b, c<=Y<d)=F(b, d)-F(a, d)-F(b, c)+F(a, c)

4) P(X>=a, Y>=d)= 1-P(X<a, Y>d) — P(x>=a, Y<d) — P(X<a, Y<d)=1-F(a, d)-(P(x<a и Y люб)-F(a, d))-(P(Y<d и Xлюб) – F(a, d))=1-F(a, d)-Fx(a)+F(a, d)-Fy(d)+F(a, d)=

=1-F(a, d)-Fx(a)-Fy(d)

Cв—ва:

F(t, s)=P(x<t и Y<s)

1) 0<=F(t, s)<=1

2)F(t, s) – не убыв, по кажд перемен

3)F(t, s) – непрер слева по кажд перем для ДСВ, Непрер для НСВ

4)F(-∞,-∞)=F(-∞,s)=F(t,-∞)=0

F(+∞,+∞)=1 F(t,+∞)=Fx(t) F(+∞,s)=Fy(s)

Для X, Y независим: F(t, s)=Fx(t)*Fy(s)

Плотн распределен:

Двум СВ-непрер – ф непрер по X и Y

f(t, s)=p(t, s)=∂2F(t, s)/ ∂t∂s

Св-ва:

1) f(t, s)>=0,

2) ∫∫-∞+∞ f(t, s)dtds = 1

3) F(t, s)= ∫-∞tdn∫-∞s (u, v)dv

4)P((X, Y)изD)=∫ ∫Df(u, v)dudv

5)fx(t)= ∫-∞+∞f(t, v)dv, fy(t)= ∫-∞+∞f(u, s)du

Для X, Y независим: f(t, s)=fx(t)*fy(s)

Пример: X, Y независ. X-R(-1;3), Y-R(1;6) равном распр

З-н распределен

Условн зак распред СВ X из XY – з-н распред X, найден при услов чт Y прим опред знач.

Если СВ дискр: P(Y=yj| X=xi)= P(X=xi и Y=yj)/P(X=xi)

и наоборот

Пр: xy -1 0 1 Σ (X|Y=-1) 2 4

2 0.06 0.24 0.30 0.6 P 0.3 0.7

4 0.14 0.06 0.20 0.4

Σ 0.2 0.3 0.5 1

Условное М и D:

1)ДСВ: M(Y|X=xi)= M(Y|xi)= Σ yj P(Y=yj| X=xi)

D(Y|xi)= Σ(yj – M[Y|X=xi])2 p(Y=yj|X=xi) = Σyj2P(Y=yi|X=xi) – M2(Y|xi)

2)НСВ: M(Y|X=x)= ∫-∞+∞yf(y|x)dy

D(Y|x)= ∫-∞+∞ (y-M[Y|x])2 f(y|x)dy=∫-∞+∞ y2 f(y|x)dy-M2[Y|x]

Коэф ковариации и кореляции

1) Кореляц Мом

Kxy=cov(X, Y)=M(XY) – M(X)*M(Y)=

= M[(X-M(x))*(Y-M(Y))]

1)ДСВ Kxy=ΣΣ (xi – M(X))(yj-M(y))pji =

Σσxiyjpij – M[X] *M[Y]

Знач: K(X, Y)=0 -> X, Y – независимы

Rxy= r(XY) = cov(X, Y)/σ[x]σ[y]=cov(X. Y)/√D(x)D(y)

Св-ва: -1<=r(x, y)<=1

r(x, y)=0 -> X, Y – независ

r(x, y)=+-1/ Y=aX+b – линейн связь

знач:хар-ет тесноту лин связи (мал знач – знач связь X и Y слабая или сильная но не линейн)

2)НСВ: Kxy=cov(X, Y)=∫∫-∞+∞(x=M[x])(y=M[y])f(X, Y)dxdy

=∫∫-∞+∞xyf(x, y)dxdy — M[X]M[Y]

Функц СВ

1. 1 перемен: Y=φ(X): 1)обратима: 1X->1Y, 1Y->1X

2) X-ДСВ -> Y –ДСВ

3) P(Y=y1)=(Y=φ(x1))=p(X=x1)=p1

xi 1 2 … Y φ(x1) φ(x2)…

p p1 p2 … P p1 p2 …

4) M[Y]=M[φ(x)]=Σyipi = Σ φ(xi)pi

5) Y=ax+b -> M[Y]=aM[X]+b –для лин функц

y=φ(x)=ax+b -> M[Y]=Σ(axi+b)pi=aM[X]+b

6) D[Y]=Σ(yi-M[Y]2)pi=Σyi2–M2[Y]= Σφ2(x)pi– M2[φ(X)]

2. φ(X) – монотон, деффиренц

1) X-НСВ -> Y= φ(X) –НСВ

2) f(X)-> g(Y)=f(φ-1(y))*|( φ-1(y))’|

3. Z= φ(X,Y) – кажд паре одно Z

Ф. распред СВ – Z: G(Z)=p(z<t)=p(φ(x, y)<t)

Если X, Y –ДСВ с вер pij=p(X=xi, Y=yj)

Тогда G(Z)=Σpij (φ(x, y)<t)

Gz(t)=∫∫Dt f(X, Y) dx dy, где Dt{(x, y)| φ(x, y)<t}

Частн случ: Z=X+-Y, φ(x, y)=x+y

Gz(t)= ∫-∞+∞ dx ∫-∞t-xf(x, y)dy

Dt={(x, y)| x+y<t }

X, Y – независ -> f(x, y)=f1(x)-f2(y)

Плотн распредел Z: gz(t)=dG(t)/dt=

= d/dt (∫-∞+∞dx ∫-∞t-xf(x, y)dy)= ∫-∞+∞(d/dt∫-∞t-xf(x, y)dy)dx =

=∫-∞+∞ f(x, t-x)dx= ∫-∞+∞ f1(x) * f2(t-x)dx= (f1*f2)(t) – свертка

f(x, y)= ∂2F(x, y) / ∂x∂y

Эл мат статистики

Сущ X-СВ –> Fx(t)

CВ Х – наблюд в случ Эксперим (услов экспер не мен)

Вектор СВ (Х1,Х2,…Xn)

Конкр знач образ выборки: независ, одинак распредел X

Числа(x1,x2,…xn) – конкр знач получ при кажд испыт

Зак распред Fx(t) – Зак распред генеральн совок-ти

Выбор Св (x1,x2,…xn) — выборка

Вариац ряд: сущ X – рост студента курса: 163,178,159,187,178,182,182,168,178. Распол знач в пор возр(убыв) – вар ряд: X 159 163 168 178 182 187

f 1 2 1 3 2 1

X1,Xn – крайн члены вариац ряда

f-Частота встреч

Дискр вариац ряд(интервал – если знач зад промеж-ми)

Для Оц: D(Xn)=minD(X), M(Xn)=C – задан

Регресс: корелляц анализ

X, Y – СВ : статич данные:

X x1 x2 ….xn (xi, yi) – эмпирич точки — множ

Y y1 y2 ….yn всех т. – кореляц поле

По виду распред выбир класс ф-ий опр завис y=f(x):

y=a+bx, y=ax2+bx+c, y=a+b/x

Рассм линейн завис: y=a+bx

Ei – ошибка(отклон)=yi-ya

F=e12+e22=.. –сум квадр отклон

=(y1-(a+bx1))2+…=F(a, b)

«Метод наимен квадр»

Опред коэф линии y=f(x,α), α-набор коэф a, b

Основ на минимиз сум квадр отклон эмпирич т. от наилучш лин – наз лин регрессии

Необх усл min ф-ии 2x неизв: равенст 0 всех её частн произв: F=Σ(yi-(a+bxi))+2 -> min a, b

{∂F(a, b)/∂a=Σ(i=1,n)(2(yi-a-bxi)(-1))=0,

∂F(a, b)/∂b=Σ(i=1,n)(2(yi-a-bxi)(-xi))=0

{ Σ(i=1,n)(2(a-bxi-yi)=0, Σ(i=1,n)(2(axi-bxi2-yixi)=0

Во всех слаг ф F к-ты перед a2 , b2 положит, то ф F(a, b) в критич т буд min:

{n*a+bΣxi = Σyi, aΣxi + bΣx2i=Σxiyi}

{a+bx¯=y¯, a x¯+b x¯2=xy¯}

b x¯2 – b(x¯)2 =xy¯- x¯ *y¯

b= xy¯- x¯ *y / x¯2 – (x¯)2 , a=y¯-bx¯

Пр: x y xy x2

1 7 7 1 x¯=12/4

3 5 15 9 y¯=21/4

6 2 12 36 xy¯=48/4

2 7 14 4 x¯2=50/4

Σ 12 21 48 50 b=-1.07, a=8.46

y^=8.48-1.07x

Оц кач регрессии

Сущ идеальн y=α+βx. Получ разн лин регр y^=a1+b1x,

y^=a2+b2x… => a, b оценки к-ов α,β ур модели y=α+βx

1) Коэф корреляц:

rxy=r(x,y)=cov(x,y)/σxσy = bσx/σy = b √Dx/Dy хар тесноту и напр линейн связи мд x и y

cov(x, y)=xy¯ — x¯y¯, b=cov(x, y)/σ2x, -1<=r<=1

Напр связи: r(x, y)>0 : связь прям(с рост x ср знач y возр)

r(x, y)<0: обратн

Теснота связи: r(x, y)=0 (чисто теор) связь отсутств НСВ

0| r(x, y)| <0.3 практич отсут: либо нет связ, либо нелиней

0.3<| r(x, y)| <0.5 слаб лин св, 0.5<| r(x, y)| <0.7 –умеренная

0.7<| r(x, y)| <1 тесн св – эмпир т. расп близко к лин регр

r(x, y)=+-1 –Все эмпирич т. леж на лин регрес

2)Коэф детерминации

А) Дисперсиональн анализ:

D(y)=σ2y= (y1-y¯)2 +(y2-y¯)2 ..+ (yn-y¯)2 / n, M= y¯ , p=1/n

yi-y¯ = (yi-yi^)+( yi^ — y¯),

(y2-y¯)2 =(yi-yi^)2+( yi^ — y¯)2 -2 (yi-yi^)( yi^ — y¯)

Σ(y2-y¯)2 =

Σ (yi-yi^)- errors (ESS)+

Σ ( yi^ — y¯) – regression (RSS)

2Σ (yi-yi^)( yi^ — y¯)=0

D(y)=σ2y = TSS/n = ESS/n +RSS/n

TSS –общ дисп, ESS – часть дисп не обьясн регресс, RSS – обьясн регрессией

Б) Коэф детерминиз R2=1 — ESS/TSS, если много факт

R2=rxy 2 – если одна факториальн переменная.

-1<=R2<=1 (%) показ на скольк % измен результативн ~ y обуслизменен x. Оставш % — это влиян факторов, не вошед в мод. Чем ближе R2 к 1, тем ближе эмпир т. к лин регресс.

Регресс при неск факторах:

y^=a+bx, y^=a0+a1x+a2x2+..akxk

завис коэф корреляц от 2 х величин: Z(xi, y)-парные

R2=1 — ESS/TSS — коэф детерминизац

Парн коэф в случайн множ регресс часто не отраж истин влиян мд xi и результативн ~ y

Истин взаимосв отраж частн коэф коррел: r(xi, y|z) – искл влиян факторов Z=(x1,x2…xk). -1<= r(xi, y|z) <=1

3. Оц значим отдельн факторов

Провер статистич гипот-за H0 – о том что xi не значимы для Y. H0: αi=0

Для пров данн гипот рассм t-статистика = функц подчин з-ну распред Стьюдента: t= (ai-αi) / Si ,

ai – соотв коэф регресс перед xi

αi =0 – по предполож, Si – ср квадр отклон ai — стандартн ош: √D(ai)

Далее по табл распред Стьюдента наход критич знач статист: tкр = tγ(n-k), обычно γ=95% — вер с кот мы получ определ рез-тат, n-наблюд, k –кол переменных

|t|<tкр – H0 на зад уровне доверия

|t|>tкр – H0 отверг с зад вер-ю γ в пользу альтерн гипот H1: αi≠0

Знач t можно определить:

4.Доверит интерв: зад ур доверия γ : доверит интерв αi наход: |t|<tкр, |(ai – α1)/Si|<tкр , Si>0

Ai – Sitкр < αi < ai+Si tкр –довер интерв с ур довер γ

Т. е. с вер-ю γ истин знач наход в этом промеж

Чем выше ур довер – тем шире доверит интерв

5.Оц значим мод в целом

Пров гипот о том, что выбр факторы не оказ влиян на Y, те о незначимости модели в целом

H0: α1=α2=αk=0

Расчит F статист, кот подчин з-ну распред Фишера:

F=R2/(1-R2) * (n-k)/(k-1)

Fкр – нах по табл распред Фишера при ур доверия γ

Fкр = Fγ(k-1,n-k), если

F<Fкр – то приним-ся Ho о незначим мод в цел с вер γ

F>Fкр — то с вер γ модель значима

Выборочн наблюд

N—генерал совок, n — выборочн

x¯-средн знач СВ генерал совок

x˜ — ср знач выборочн СВ

доля ед облад опр признаками:

р-генеральн, w- выборочн

1) x¯ явл оц для M(X): x¯≈M(X)

Σ(xi — x¯)fi / Σfi ≈D(x) ((Σ(xi — x¯)fi / n ≈D(x))

Оц мат ож явл не смещённой – M(X)=M(X¯)

Несмещ оц дисперс: (Σ(xi — x¯)2fi / n-1 ≈ D(x)

Оц θ^ для СВ θ явл не смещен, если мат ож M(θ^)=θ

2) Вариац альтернат признака:

Призн альтернативн если – качеств призн имеющ только 2 градац(не выраж числ знач, но в кач альтерн призн обычно вбир 2 числа: 0 и 1 – для обозн знач этого призн)

n-m =число ед не облад иском призн

p=m/n – доля ед облад изуч призн

q=(n-m)/n доля ед не обл призн

распред x 0 1 всего

p n-m m n

M(x)≈(x1f1 + x2f2) / (f1+f2) = 0*(n-m) + 1*m / n= m/n=p

Оц мат ож ср знач альтерн призн X¯=p≈M(x)

D(x)≈((x1-x¯)2f1 + (x2-x¯)2f2) / (f1+f2) = (0-p)2(n-m) + (1-p)2m / n= p2 (n-m)/n + q2 m/n =pq

D(x)≈ pq, σ(x)≈√pq

3) Оц генерал ср X¯

X¯ ср знач изуч велич в генерал совок Р(альтернат признак) : P(|X¯-X˜|<=Δ)= Фo(t)-знач ф Лапласа

Δ – предел ошибка выборки, t – коэф доверия

μ= Δ/t — не завис от вер-ти, а завис только от парам выборки – ср ошибка, расчет её зависит от отбора:

μ= √σв2 /n — если отбор повторный

μ= √σв2 /n * (1-n/N) отбор без повтор

μ -> Δ=t μ => |X¯-X˜|<=Δ c вер Ф(t)

x˜- Δ <= x¯<= x˜+ Δ

x˜ ~ p

w — Δ <= p<= w+ Δ