Шпоры по физике

1.Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей — матем. дисциплина, изучающая закономерности случ. явлений. Осущ. намеченного действия и получение его результата называется экспериментом(опытом).Предмет теории вероятностей — модели экспериментов(напр. подбрасывание монеты, вытягивание карты из колоды, вытягивание билета).Результат проведения опыта называется элементарным исходом. Множество всевозможных исходов называется пространством элементарных событий(Ω). Для начала, возьмем в руки монетку, будем ее бросать и записывать результат последовательно в виде строки: О, Р, Р, О, О, Р. Здесь буквами О и Р обозначено выпадение орла или решки. В нашем случае бросание монетки – это испытание, а выпадение орла или решки – событие, т. е. возможный исход нашего испытания. Пусть мы провели испытание N раз, R раз выпала решка, O  =  N  –  R раз выпал орел. Предположим, что при большом числе испытаний N отношение стремится к некоторой постоянной величине. Назовём её вероятностью p наступления события. Если существует идеализированный процесс, который можно представить в виде испытаний, и частота случайного события приближается к пределу
то этот предел называется вероятностью данного случайного события.

Часто вероятность, которая в нашем определении заключена в интервале 0 ≤  p  ≤ 1, выражают в процентах, умножая число p на 100 %. Иногда вероятность события можно предсказать из соображений симметрии. Например, при бросании «идеального» игрального кубика выпадение любой грани равновозможно (равновероятно). Всего граней 6, значит, вероятность выпадения i — й грани p  ( A i ) =  p  ( A 1 ) =  p  ( A 2 ) =  p  ( A 3 ) =  p  ( A 4 ) =  p  ( A 5 ) =  p  ( A 6 ) = 1/6. Для того чтобы найти вероятность события A, происходящего в серии испытаний, нужно: найти число N всех возможных исходов (элементарных событий);принять предположение о равновероятности этих исходов; найти количество N  ( A ) тех исходов, в которых наступает событие A ; найти частное оно и будет равно вероятности p  ( A ) наступления события A.

2.Случ. события и их классификация

Результат испытания будем наз. событием независимо от его значимости, причем, если его нельзя заранее спрогнозировать, то события назовем случайными (А, В,С). Каждое случайнее событие, при кот. наступает событие А наз. благоприятными. Два события наз. совместными в данном опыте, если появление одного не исключает появление другого (те события, кот. содержат одинаковые исходы). Два события наз. несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании (те события, которые не имеют общих исходов). Достоверным наз. событие, кот. обязательно произойдет. Невозможным наз. событие, кот. заведомо не произойдет. События наз. равновозможными, если нет основания полагать, что одно из событий являются более возможным, чем другое.Противоположным для события А наз. событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в А.

3.Действия над событиями (объединение, пересечение, разность)

Сумма событий А и В это события, состоящее в том, что произошла хотя бы одно из событий А или В(А+В, логическое «или»).Произведение событий-это событие, состоящее в совместном осуществлении события А и события В(А*В АВ логическое «и»). Разность событий-событие, состоящее из исходов, входящих в А и не входящее в В(А/В).

4.Основные правила и формулы комбинаторики

Рассмотрим совок. n-различных пронумерованных элементов(а1,а2……аn).Мы выбираемя из этой совок. альфаК элементов. Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов наз. соединением.Эта выборка может быть как без повторений так и с повторениями. 1. Выбор с учётом порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. (1, 5, 2), (2, 5, 1) и (4, 4, 5) различны,2. Выбор без учёта порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом. (1, 5, 2) и (2, 5, 1) 3.с возвращением. каждый выбранный шарик возвращается в урну. Номера могут повторяться 4. без возвращения. не встреч. Одни и те же номера. Размещением наз. их соединение каждое из кот. содержит =m различных элементов и кот. отлич. либо элементами либо порядком элементов. Теорема: общее кол-во размещений

Соединение из n-элементов каждое из кот содержит n-элементов и кот отлич лишь порядком наз перестановками: Pn=n!. Сочетаниями наз соединение каждое из кот содержит =m данных элементов и кот. отлич хотя бы одним элементом

Св-ва сочетания:1) 2) 3)  ;4)  ;

Теорема: общее кол-во выборок в схеме выбора m-элементов из n с возвращ. и с учетом порядка определ:Теорема: общее кол-во выборок в схеме выбора m-элементов из n с возвращ. и без учета порядка

5.Класс. определение вероятности

Вероятность-колич. мера возможности появления рассматриваемого события. Вероятность события А=соотношению числа благоприятствующих(m) исходов к числу всевозможных(n). A=m/n. Из определения события А следует что m находиться поэтому всегда выполняется условие .Если m=0 то Р(А)=0;если Р(А)=0 то А невозможное;если Р(А)=1 то А достоверное (m=n).Равновозможные события обладают одной и той же вероятностью.Теорема:вероятность события противоположного событию А=разности 1 и вероятности события А, т.е.

6.Геометр. определение вероятности

Геом. вероятность применима к испытаниям с бесконечным числом исходов Р(А)=mes g/mes G

Пример:пусть плоская фигура g с площадью Sg составляет часть плоской фигуры G площадью SG. На фигуру G бросается точка, какова вероятность того точка падает в фигуру g.Решение: Р(А)= Sg/ SG

7.Теоремы сложения вероятностей

Теорема:вероятность суммы конечного числа несовместных событий А1.А2,….,Аn=сумме вероятностей этих событий

Теорема:вероятность появления хотя бы 1-го из 2-ух совместных событий = сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

8. Теоремы умножения вероятностей

Если при наступлении события А вероятность события В не меняется то события А и В – независимые. Теорема:вероятность совместного появления 2-ух независимых событий А и В = произведению этих событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В). События А1.А2,….,Аn наз. попарно независимыми если независимы любые 2 из них. События А1.А2,….,Аn независ. Совок. если каждое из этих событий и событие равное произведению любого числа остальных независимы.Теорема: вероятность произведения конечного числа независимых в совок. событий А1.А2,….,Аn =произведению вероятностей этих событий Р(А1.А2,….,Аn)=Р(А1)*Р(А2)….*Р(Аn).Вероятность события А вычисленная при условии что произошло другое событие В наз. условной вероятностью события А. Р(А/В)=Рв(А).Теорема: вероятность произведения 2-ух событий= произведению вероятности 1 из них на условную вероятность другого вычисленную при условии что первое событие произошло Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(А/В).Теорема:вероятность произведения конечного числа событий= произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий т. е. Р(А*В,….,L*M)= P(A)*P(B/A)…..P(M)*P(M/AB….LM)