Шпоры по дифурам

Т. Если f0 и f1 — непр и непр-дифф по х, и решение определено на некотором отрезке, тогда:

,

. Тогда решение задачи (3-4)

удовлетворяет неравенству: .

Т. Решение устойчиво когда устойчиво тривиальное решение тривиальной системы.

Устойчивость линейных систем

Т. Все решения линейной системы с одной матрицей А либо все устойчивы (ас устойчивы), либо неустойчивы.

Системы с постоянной матрицей

Т. Для того чтобы все решения были устойчивы чтобы все корни характеристического уравнения были < 0

Т. Чтобы решение было ас устойчиво чтобы все корни лежали в левой полуплоскости.

Системы с почти постоянной матрицей

Т. Если система (10) — устойчива, и для (20)

, < ∞

Тогда все решения (20) устойчивы.

Устойчивость по 1 приближению

, f – непр и непр-дифф

по х.

(1) ,

(1*)

Т. Пусть для (1*) , х

Re, тогда тривиальное решение (1) ас. устойчиво.

Метод функций Ляпунова

Т. Пусть для системы (1)

непр-дифф функция V: , где — шар – радиуса.

1) V(х) , V(0) = 0

2) 0

Тогда тривиальное решение устойчиво.

Теорема Ляпунова для автоном. системы

1)  V(х), x , «+» определена

2)  ;

где М – множество не содержащее целых траекторий кроме нуля. Тогда тривиальное решение ас. устойчиво.

Т.

Если V(х)х, – знакопеременна,

Тогда тривиальное решение неустойчиво.

Т.

Если в окрестности нуля V(х) и она не является знакоотрицательной

; . Тогда тривиальное решение неустойчиво.