Учебные материалы по математике | Шпора по тфкп | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Шпора по тфкп


Овал: 1Ряды Фурье в комплексной форме

тогда Комплексная форма ряда Фурье

, где

Так как явл. сопряж. , то члены ряда с номером n и — n явл. комплексно спряж., поэтому å этих членов дает действительную величину и называется n-ная гармоника. При этом амплитуда этой гармоники вычисляется по формуле:

Интеграл Фурье

Овал: 2Пусть ф-ия f(x) определена от -¥ до +¥ и ф-ия абсолютно интегрируема => $

Разложим ф-ию f(x) на интервале — l до l в ряд Фурье.

при ( l -> ¥)

значение -> 0 при l -> +¥

эти значения дискретной величины zÎ(0;+¥)

значение -> 0 при l -> +¥

Эту сумму м. рассматривать как интегральную сумму ZÎ(0; +¥) Интеграл Фурье для f(x). Интегральная формула Фурье.


Теорема:

Овал: 2Пусть ф-ия f(x) кусочно дифф-ма на " конечном отрезке от a до b содержащемся в интервале

от -¥ до +¥ ([a, b] Ì (-¥; +¥)) и абсолютно интегрируема на нем же, тогда интеграл Фурье сходится в точках непрерывности.

Док-во:

1. Частный случай f(x) — четная

f(x)cos(zt) — четная

f(x)sin(zt) — нечетная

(2)

2. Частный случай f(x) — нечетная

f(x)cos(zt) — нечетная

f(x)sin(zt) — четная

(3)

Замечание:

Если ф-ия f(x) задана на (0; +¥) и удовлетворяет на нем всем условиям теоремы, то продолжая

ф-ию на отрицательную полуось четным или нечетным образом можно пользоваться

формулами (2) и (3).

Преобразования Фурье

Овал: 3 четная относительно Z

Составим непрерывна по Z и нечетна.

Достаточно, чтобы он сходился в смысле главного значения

$ v. p.

(4)

Комплексная форма интегральной формулы Фурье

Представим эту формулу в виде суперпозиции 2-х

— преобразование Фурье

— обратное преобразование Фурье для ф-ии F(z)

Овал: 3Говорят, что задано разложение на гармонике с непрерывно меняющейся частотой ZÎ(0; ¥)

ф-ии A(z) и B(z) задают закон распределения амплитуд, начальных фаз и частот.

1. f(x) — четная

— можно рассматривать как суперпозицию

— Cos — преобразование Фурье ф-ии f(x)

Симметричность Fc(z) и f(x) означает явл. взаимно Cos-преобразование Фурье

Сопряженное по Коши I — рода.

2. f(x) — нечетная

— можно рассматривать как суперпозицию

— Sin — преобразование Фурье ф-ии f(x)

Fs(z) и f(x) взаимно Sin — преобразования Фурье (сопряженные по Коши II — рода)

1. f(x) — четная

F(z) = Fc(z) при z < 0 отображается четным образом

2. f(x) — нечетная

F(z) = Fs(z) при z < 0 отображается нечетным образом

3 f(x) — общего положения

f(x) = g(x) + h(x) g(x) — четная h(x) — нечетная

(где Gc и Hs — cos и sin преобразования Фурье.)

Теория функций комплексного переменного.

Овал: 41. Сфера комплексных чисел.

Пусть дана некоторая пл-ть и дано начало отсчета, проведем сферу, которая касается пл-ти в начале координат. Построим диаметрально противоположную точку М к точке О и будем соединяти произв. т. Z с т. М. Отрезок ZM пересекает сферу в т. z. Между т. сферы и т. плоскости устанавливается взаимооднозначное соответствие (крома т. М), которая называется стереографической проекцией.

Введем в рассмотрение т. z = ¥, которая называется бесконечно удаленной т. и на сфере этому числу соответствует т. М Плоскость z в месте z = ¥ будем называть расширенной плоскостью z.

Все точки, кроме z = ¥ называются конечными точками.

2. Функции комплексного переменного

e — окресностью конечной т. z0 называется круг с центром в т. z0 и радиусом e: |z — z0| < e

e — окресностью бесконечной т. z0 называется круг с центром в т. z0 = ¥ и радиусом e: |z| >1/e

Чем меньше e, тем меньше окрестность.

Мн-во D — мн-во расширенной пл-ти z

т. z мн-ва D называется внутренней, если все точки e-окресности т. z0 принадлежат мн-ву D.

т. z наз. граничной, если ­" e-окр. содержит как точки принадлежащие мн-ву, так и не принадлежащие мн-ву.

Мн-во всех граничных точек мн-ва D называется границей.

Мн-во, состоящее из одних внутренних точек называется открытым.

Если " две точки мн-ва D можно соединить непрерывной линией целиком содержащейся в D, то мн-во D назыв. связным множеством.

Областью назыв. открытое связное мн-во.

Мн-во точек, состоящих из обл. D и ее границы назыв. замкнутой областью и обозначается `D.

Пл-ть Z явл. обл-ю с границей z = ¥, а расширенная пл-ть Z — это единственная обл., которая не имеет границ.

Виды границ: разрез, замкнутый контур, точка, замкнутая линия.

Границы рассматривают из конечного числа замкнутых линий, разрезов и точек. Число не связанных др. с др. частей из которых состоит граница назыв. порядком связности.

Положительным направлением обхода границы обл. назыв. направление при котором обл. всегда остается слева.

Говорят, что на мн-ве D задана ф-ия w = f(z), если каждой т. zÎD соотв. одна или несколько точек w. В случае, когда соотв. одна — ф-ия однозначная, в противном случае — многозначная.

Мн-во D назыв. обл. определения ф-ии. Мн-во E всех значений w назыв. мн-вом изменения ф-ии.

Если D и E обл., то будем обозначать их D и D.

Пусть: w = f(z)

z = x + iy, w = u + iv

u + iv = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

u = Re f(z) = u(x, y)

v = Im f(z) = v(x, y)

Для того, чтобы задать ф-ию компл. переменного надо задать две ф-ии двух действ. перем-х.

Ф-ию f(z) будем назыв. отображением, а т. w соответстьвующие z будем назыв. образами.

Отображение назыв. взаимнооднозначным или однолистным, если ф-ия f(z) однозначная и " двум точкам из мн-ва D соотв. различные точки из мн-ва E (образы не сливаются).

Овал: 53. Предел последовательности и предел ф-ии.

Рассмотрим последовательность z1, z2, z3, z4, …. zn или { zn}

т. z0 = x0 + y0i назыв. пределом последовательности {zn} = {xn + iyn}, если x0 и y0 соотв. являются пределами последоват. {xn} и {yn}

" e > 0 $N n > N |zn — z0| < e

— бесконечно удаленная точка.

Пусть ф-ия w = f(z) определена и однозначно в некоторой окр-ти т. z0, за исключением быть может самой точки z0.

Конечная т. w0 = u0 + iv0 назыв. пределом ф-ии f(x) = u(x, y) + iv(x, y) при z -> z0, где z0 = x0+ iy0, если при x — > x0 y — > y0

т. w0 = ¥ назыв. пределом ф-ии f(z) при z — > z0, если |f(z)| — > ¥ при z — > z0

Все теоремы о пределах справедливы.

— конечная точка. "e > 0 $d > 0 |z — z0| < d |f(z) — w0| < e

— бесконечно удаленная точка. "e > 0 $d > 0 |z — z0| < d |f(z)| > 1/e

— "e > 0 $d |z| > 1/d |f(z) — w0| < e

Пусть ф-ия f(z) определена в т. z0.

Ф-ия f(z) назыв. непрерывной в т. z0, если и равен значению ф-ии в этой т.

Ф-ия f(z) назыв. непрерывной в бесконечной точке, если , где w0 — конечное число.

w0 — будем принимать за значение ф-ии в бесконечно удаленной точке.

Основные функции комплексного переменного.

Овал: 6Показательная ф-ция. *"

Свойства: а)

Док-во:

б) Функция * является периодической с чисто мнимым периодом , общий период Док-во:

Логарифмическая ф-ция. — определяется как обратная к показательной.

, логарифм , если Û Þ — «+» вещ. число.

, Î , Î

, Î — главн. знач. арг. в интеграле от 0 до

Логарифм – многозначная ф-ция. При получаем главное значение :

Если — действительное «+» число * ; — главное значение ln

Свойства: а) б) в) г)

Док-во:

Тригонометрические ф-ции. — определяется ч/з показательные ф-ции.

При действительном получаем тригонометрические ф-ции действит. аргумента:

Функции и периодические и имеют наименьший период . Функции и периодические и имеют наименьший период .

, и — явл. периодом.

Все тригонометрические формулы верны

Обратные тригонометрические ф-ции. — определяемая как ф-ция обратная к тригоном.

Þ

*± Þ Многозначность арксинуса определяется двузначностью корня и бесконечнознаностью логарифма.

Гиперболические ф-ции

т. к. и периодические ф-ции с периодом , то * и — периодич. ф-ции с периодом .

* и — периодич. ф-ции с периодом . Связь:

формулы, связывающие тригонометрические и гиперболические ф-ции: *

Формулы для и получаются из тригонометрич. формул заменой на , на .

Ф-ции, обратные гиперболическим. Общая степенная ф-ция. *, , Î

ф-ция многозначная, главное значение определяется по формуле:

Общая показательная ф-ция. * (a¹0, ) — ф-ция многозначная, главное значение ф-ции
5. Производная. Условия Коши — Римана. (C-R).

Овал: 7Пусть задана однозначная ф-ия w = f(z) в окресности некоторой т. z.

Придадим приращение z — z + Dz Î окресности.

Dw = f(z + Dz) — f(z)

назыв. производной ф-ии f(z) и ф-ия f(z) назыв. дифференц-й в т. z

w = u(x, y) + iv(x, y) z = x + iy Dz = Dx + iDy

Dw = u(x + Dx, y + Dy) + iv(x + Dx, y + Dy) — u(x, y) — iv(x, y) =

u(x + Dx, y + Dy) — u(x, y) + i (v(x + Dx, y + Dy) — v(x, y)) = Du + iDv

предел сводится к вещественной переменной.

Из дифференцированности ф-ии следует ее непрерывности, обратное неверно.

Теорема:

Для того, чтобы ф-ия f(z) = u(x, y) + iv(x, y) была дифф-ма в некоторой точке необходимо и достаточно чтобы:

1) ф-ии u(x, y) и v(x, y) были дифф-мы в этой точке и в этой точке выполнялись неравенства:

(C-R)

Док-во:

1) Необходимость ф-ия f(z) дифф-ма в некоторой точке.

$ этот предел не зависит от изменения z + Dz — > z

1. (Dy = 0)

2. (Dx = 0)

Отсюда = >, что

2) Достаточность. ф-ии u и v дифф-мы и даны условия (C-R), требуется док-ть, что f(z) — дифф-ма.

Du(x, y) = u(x + Dx, y + Dy) — u(x, y) = | z | =

Dv(x, y) = v(x + Dx, y + Dy) — v(x, y) = | z | =

Dw = Du + iDv =

ф-ия дифф-ма в т.

Для ФКП сохраняются все известные правила дифф-я

— б. м.

6. Аналитические ф-ии. Дифференциал

Овал: 8Ф-ия f(z) однозначна и дифф-ма в каждой т. обл. D назыв. аналитической (регулярной) в обл. D

Ф-ия f(z) назыв. аналитической в конечной т., если она является аналитической в некоторой окресности этой точки.

Условие аналитичности более жестко, чем условие дифф-ти ф-ии в т.

Точки пл-ти z в которых ф-ия аналитична называются правильными, а т. в которых ф-ия не явл. аналитичной назыв. особыми.

Дифференциалом ф-ии f(z) аналитической ф-ии в конечной т. z назыв. главная линейная по отношению к Dz часть приращения ф-ии.

Dw = f’(z)Dz + Dza = > dw = f’(z)dz

Связь аналитической ф-ии с гармонической

Выясним, может ли ф-ия u(x, y) явл. вещественной частью

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) — аналитична, т. е. во всех т. выполняется условие (C-R)

(по x)

Удовл. условию Лапласа = > ф-ия u — гармоническая

(по y)

Продифф-м ур-ие 1 по y, а 2 по x = > ф-ия v гармоническая.

Гармонические ф-ии, удовл. условиям (C — R) назыв-ся взаимно сопряженными.

Действительная и мнимая части аналитической ф-ии явл. взаимно сопряженными.

7. Геометрический смысл аргумента и модуля производной

Овал: 9Пусть задана ф-ия f(z) аналитическая в обл. D z0ÎD, f’(z) ¹ 0.

w = f(z)

z = z0 + Dz

w = w0 + Dw

Предел отношения б. м. расстояния м/д z и z0 равен постоянной величине |f’(z0)|, поэтому эту величину м. рассматривать как коэффициент растяжения в т. z0 отображения w = f(z),

если |f’(z0)| > 1 — растяжение пл-ти

если |f’(z0)| < 1 — сжатие пл-ти

Y` = F` + Arg f’(z)

= > Y` — F` = Arg f’(z) = >

Т. к. |f’(z)| ¹ 0, то аргумент определен однозначно и значит $ постоянный угол (Arg f’(z0)), на который нужно повернуть касательную для того, чтобы получить направление касательной в образе.

Arg f’(z0) назыв. вращением при отображении w = f(z), если

Arg f’(z0) > 0 — поворот против часовой стрелки

Arg f’(z0) < 0 — поворот по часовой стрелки

Если провести несколько касательных, то каждая касат. повернется на один и тот же угол

Arg f’(z0) = > угол м/д касат. сохраняется, т. о. аналитическое отображение обладает св-вом консерватизма (сохранности) углов.

Овал: 108. Конформные отображения

Рассм. w = f(z) и |f’(z0)| ¹ 0. построим в окр-ти z0 некоторую б. м. фигуру, тогда ей будет соотв. б. м. др. фигура, которая будет подобна данной: углы равны, а стороны пропорциональны.

|f’(z0)| — коэффициент пропорциональности.

Отображение обладающее св-вом консерватизма углов и св-вом постоянства растяжения назыв. конформным отображением I — го рода.

Теорема: Аналитическое отображение конформно в кажд. т., где производная = 0.

Теорема: Отображение конформно в обл. D, если она конформна в каждой т. обл. D

Теорема: Если отображение конформно в обл. D, то ф-ия w = f(z) аналитична и производная во всех т. обл. D ¹ 0.

Отображение обладающее св-вом постоянства растяжения и сохраняемости углов по абсолютной величине, но изменению направления отсчета на противоположный назыв. конформным отображением II — го рода.

9. Интегрирование ф-ии комплексного переменного

Овал: 11Интеграл ф-ии компл. перем.

Пусть в обл. D задана непрерывная ф-ия w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) и также задана в обл. D кусочно-гладкая линия с началом в т. z0 и с концом в т. z

Направление движения от z0 к z. Линия м. б. замкнута.

Проведем разбиение линиии l на n-частей

z0, z1, z2,z3,…,zn— z

Dzk = zk — zk-1 Dxk = xk — xk-1 Dyk = yk — yk-1

Dzk = Dxk + iDyk

На каждом i-том участке выберим произвольным образом т.

Yk =xk — ihk и найдем значение этой точки f(Yk)Dzk и составим å

Будем устремлять |Dzk| — > 0 — > 0

Ф-ии u и v непрерывные, то пределы $ и равны криволинейным интегралам II-го рода, этот предел назыв. контурным интегралом.

Св-ва:

Рассмотрим ф-ию f(z) º 1 и составим

интегральную å

Если контур замкнутый, то .

Контурные интегралы обладают обычными св-вами криволинейных интегралов.

1. 2. a = const.

3. 4. Если ,то

5. Теорема об оценке

где М — наибольшее значение модуля ф-ии f(z) на контуре — длина линии

Док-во:

|Dzk| — длина хорды, вписанной в дугу

Вычисление контурных интегралов

Овал: 12Пусть линия задана парам. уравнениями x = x(t); y = y(t); t0, t1, тогда

Если линию м. параметризовать одним уравнением z = z(t) = x(t) + iy(t), то контурный интеграл:

Замена переменной в контурном интеграле

Производится аналогично в ф-иях вещественного переменного.

Пусть z = f(w) аналитическая ф-ия, которая взаимнооднозначно отображает линиюна линию , тогда контурный интеграл по линии :

Если контуром явл. луч, выходящий из т. z0 или окружность (часть окружности с центром в т. z0), то производится следующая замена

Если луч — — const, — изменяется.

Если окружность (часть окружности) — — изменяется, — const.

Причем переменные действительные.

Теорема Коши

Если ф-ия f(z) аналитична в замкнутой односвязной обл. D, то контурный интеграл по " замкнутому контуру, содержащемуся в обл. D = 0.

Док-во: проведем док-во в предположении, что f’(z) — непрерывная ф-ия.

т. к f(z) — аналитична, то для нее выполняется усл. (C — R), а

выполнение этих условий и будет явл. условием = 0 криволинейного интеграла по замкнутому контуру.

Распространим т. Коши на случай многосвязной обл.

Овал: 13Пусть ф-ия f(z) аналитична в обл. D обл. D — 3-х связная

Произведем 2 разреза c1 c2.

Контур замкнутый односвязный, тогда по т. Коши

с другой стороны

Теорема Коши для многосвязной области

Если ф-ия f(z) аналитична в замкнутой, многосвязной обл., то интеграл по границе обл. D = 0, направление обхода положительно.

Если ф-ия f(z) аналитична в замкнутой односвязной обл., то интеграл от ф-ии по внешнему контуру = å интегралов по всем внутренним контурам, в часности если ф-ия f(z) аналитична в кольце, то

Независимость контурного интеграла от пути интегрирования

Пусть ф-ия f(z) аналитична в односвязной обл., тогда по т. Коши

контурный интеграл аналитической ф-ии не зависит от пути

интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точки

— форма записи.

Неопределенный интеграл. Формула Ньютона — Лейбница

Ф-ия F(z) назыв. первообразной для ф-ии f(z), если F’(z) = f(z). F(z) + C — мн-во первообразных

Неопределенным интегралом назыв. мн-во всех первообразных

Формула Ньютона — Лейбница выводится аналогично (самостоятельно)

Контурный интеграл от аналитической ф-ии в односвязной обл. = приращению проиводной

Формула Коши

Овал: 14Пусть ф-ия f(z) аналитична в замкнутой обл. `D, — граница обл. = > "z0 Î D

Вывод:

Рассмотрим обл. D, проведем окр. с радиусом r, с центром в т. z0,

тогда D* — обл. = D + граница; порядок связности на 1 больше, чем обл. D, тогда в D* ф-ия f(z) — аналитична.

По т. Коши для аналитичной ф-ии в многосвязной обл

т. к. ф-ия f(z) непрерывна, то для достаточно малых r |z — z0| = r, то |f(z) — f(z0)| < e из непрерывности ф-ии.

Производные высших порядков от аналитической ф-ии

Теорема: Если ф-ия f(z) аналитична в замкнутой обл.`D, сколь угодно раз дифф-ма и выполняется:

обход границы обл. в положительном направлении.

Док-во: (n = 1) Пусть т. z­0 Î D, возьмем z0 + Dz Î D. Док-во идет из определения производной

Док-ть ограниченность

Т. к. ф-ия f(z) непрерывна в замкнутой области, то f(z) – ограничена $М |f(z)| М

Обозначим кратчайшее расстояние от т. z0 до z за 2d

|Dz| < d |z – z0 – Dz | ³ |z – z0| — |Dz| > 2d — d = d

2d — min м/д |z – z0|

— длина контура

Методом математ индукции м. док-ть справедливость формулы для " n

Ряды:

Овал: 15Числовые ряды: {Zn}={Xn+i*Yn} – последовательность комплексных чисел.

Для сходимости {Zn} необходимо доказать сходимость {Xn}и {Yn}.

Свойства сходящихся числовых рядов:

1.Если числовой ряд сходится, то любой его остаток также сходится

Следствие: Если в сходящемся числовом ряде добавить или отбросить конечное число первых слагаемых, то сходимость ряда не нарушится

2.Если ряд {an} сходится, то тогда ряд {b*an}-также сходится и S2=b*S1 – суммы рядов

3.Если два ряда сходятся, то ряд, составленный из их суммы также сходится

Замечание: свойства можно распространять на конечное число слагаемых.

Необходимый признак сходимости:

Если {an}- сходится, то его общий член aoà0.

Док-во: an=Sn-Sn-1,

Следствие: Если предел an¹0,то ряд расходится, если предел =0, то вопрос открытый

Функциональные ряды: f0(z)+f1(z)+…+fn(z)+…, ,

Sn(z)= f0(z)+f1(z)+…+fn(z) абсолютной сходимости остаток в любой точке сходимости

Если на некотором множестве Z определена каждая из функций fn(z) (n=1,2,…), то говорят, что имеется последовательность функций или функциональная последовательность, заданная на множестве Z. Множество D всех точек zÎZ в которых последовательность сходится {fn(z)} – область сходимости. Для каждой точки из D ставится в соответствие другая точка è задана f(z)

Степенные ряды

Теорема Абеля (верна и здесь)

Если степенной ряд сходится абсолютно при некотором значении , то он сходится для

1)  "x, |x|<|xo|

2)  если степенной ряд расходится в некоторой точке xo, то он расходится для "x, |x|>|xo|

Док-во:

1) в точке xo, , "e>0 $M"n>N |an*xon|<M

, сходиться т. к. |x|<|xo| Þ искомый ряд сходится абсолютно. ч. т.д.

Проведем луч из начала координат:

ряд сходится во всех точках луча, тогда по теореме Абеля ряд сходится во всей комплексной плоскости Z. R= – радиус сходимости. ряд расходится во всех точках луча, кроме Z=0, тогда по теореме Абеля ряд расходится во всей комплексной плоскости Z, за исключением Z=0. R=0 – радиус сходимости. На луче существуют точки, где ряд сходится и расходится.

Точки, где ряд сходится – ближе к началу координат. т. Z* — определяет точки сходимости и расходимости, причем в самой т. Z* вопрос о сходимости открыт, тогда:

| Z*| — радиус сходимости, |Z|<R – круг сходимости ряда, R=const

Ряд Тейлора. Пусть во всяком круге |z-a|<R сходится ряд , тогда в области

Овал: 16|z-a|£R1<R наш ряд сходится равномерно и имеет свой суммой f(z)=C0+ C1(z-a)+…, причем f(z) аналитична в круге, т. к. любой член суммы аналитичен, причем можно почленно дифференцировать:f`(z)= C1+ 2C2(z-a)+…,- также аналитична, т. к. ряд сходится равномерно в круге|z-a|£R1, f`(z) — можно опять продеффиринцировать: f(n)(z)=n! Cn+… Подставим в любой ряд z=a Þ f(a)= C0, f`(a)= C1… f(n)(a)=n! Cn. à для "nÎN , ряд Тейлора для f(z) в окрестности т. Z Î D. Сумма ряда Тейлора функции f(z) является аналитичной в круге сходимости, причем этот ряд является рядом Тейлора своей суммы.

Теорема. Любая функция f(z) аналитичная в круге |z-a|<R может быть в этом круге единственным образом разложена в степенной ряд Тейлора.

Док-во: т. Z0Î|z-a|<R, построим круг, в котором содержится т. Z0Î|z-a|£R1<R.

 

 

Т. к. ряд сходится равномерно, то знак ò и å — можно менять местами.

Единственность этого разложения следует из того, что этот степенной ряд – ряд Тейлора своей суммы.

Ряд Лорана

Овал: 170<|z-a|<R (аналитична в кольце), тогда f(z) представляет

Об-ть сх-ти 2-го ряда: => — кольцо, r-область сх-ти ряда Лорана

, рассмотрим |z-a|=r, rÎ(r, R).

0, n¹1 2pi, n=1

Теорема. Любая функция f(z) аналитичная в кольце r<|z-a|<R может быть в этом кольце единственным образом разложена в ряд Лорана.

Док-во: Пусть r1>r и R1<R, что r1£|z-a|£R1-т. о. f(z)аналитична в кольце, включая границу. Тогда по формуле Коши: f(z)=f1(z)-f2(z)

, где

знаменатель геометрической прогрессии

, где

— аналогично для f2(z), Заменим Г1 и Г2 на Г Þ — правильная + главная части

Если функция аналитична в т. а, то главной части ряда Лорана нет и ряд Лорана равен ряду Тейлора. Условие равенства Лорана – Тейлору:

Особые точки

Овал: 19 Точку z = a будем называть изолированной особой точкой если существует такая окрестность в точке a, в которой она является единственной особой точкой.

Окрестность точки a задается в виде кольца r < | z — a | < R

Тогда f(z) аналитична в кольце и налагается в ряд Лорана

1. Разложение не содержит главной части ( аналитична 0 < | z — a | < R )

Ряд сходится во всех точках кроме z = a к f(z), а в точке z = a к C0

Особая точка z = a называется устранимой особой точкой если существует конечный предел функции f(z) в точке a. — конечный предел

Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки не имеет главной части

Пусть ряд Лорана содержит конечное число слагаемых

Точка z = a называется полюсом m-го порядка цепи

Ряд Лорана содержит конечное число членов главной части (причем Cm не равно 0)

Критерий полюса m-го порядка

Чтобы z = a было полюсом m-го порядка

Точка z = a называется существенно особой, если f(z) не имеет предела при z®a

Разложение в ряд Лорана содержит в своей главной части бесконечное число членов.

Нулем функции f(z) называется точка в которой функция = 0. z = a — ноль f(z)<=>f(a)=0

Если f(z) тождественно не равна 0, то тогда в окрестности точки функция f(z) разложима в ряд Тейлора , где m называется порядком нуля (номер младшего отличного от нуля коэффициента)

Порядок нуля a, это порядок младшей производной отличной от нуля.

Теорема. Чтобы z = a была нулем m-го порядка необходимо и достаточно, чтобы f(z) можно было представить в виде.

Необходимость z = a — ноль m-го порядка

Достаточность

Доказать, что a является нулем m-го порядка

=> z = a — ноль m-го порядка

Вычеты функций

Овал: 20Вычеты функций в конечной изолированной особой точке

Вычетом функции f(z) в конечной изолированной особой точке z = a Res(f(z)) называется коэффициент C-1 при члене в окрестности точки a

Проинтегрируем обе части по " контуру l, содержащемуся в кольце, где справедливо разложение в ряд Лорана

Если z = a является точкой аналитичности функции, то вычет равен 0 ( С-1=0 )

z = a — устранимая особая точка С-1=0

Основная теорема о вычетах

Если функция f(z) — аналитична на границе l области D, за исключением конечного числа особых точек a1, a2, … ,an, то тогда

Доказательство:

Окружим все особые точки окружностями Сk достаточно малых радиусов, так чтобы они лежали внутри контура l и не пересекались между собой, тогда функция f(z) аналитична в многосвязной области и по теореме Коши для многосвязной области (обход )

Вычет функции в полюсе

Можно находить без Лорановского разложения. Пусть z = a — полюс m-го порядка функции f(z)

(z-a)mf(z)=C-m+C-m+1(z-a)+…+C-1(z-a)m-1+C0(z-a)m+…

Продифференцируем это равенство (m-1) раз

Пусть функция f(z) представима в виде

z = a — простой полюс

Вычет функции в бесконечно удаленной точке

Овал: 21Вычетом функции в точке z = ¥ Res(f(¥)) называется коэффициент при члене 1/z в разложении функции f(z) в ряд Лорана в окрестности ¥ удаленной точки взятой с обратным знаком Res(f(¥))=C1 Проинтегрируем обе части по " замкнутому контуру принадлежащему окрестности ¥ удаленной точки (направление обхода по часовой стрелки — отрицательное)

Теорема Если функция f(z) аналитична на расширенной плоскости z за исключением конечного числа особых точек (включая и точку z = ¥), то å всех вычетов = 0

Док-во: Окружим все конечные особые точки окружностями C1, C2, …,Cn и все эти окружности лежат в большой окружности С с центром в начале координат. Все окружности между собой не пересекаются. Тогда функция f(z) аналитична в многосвязной области и по теореме Коши сумма интегралов по всем контурам = 0. Обход по внешнему против часовой, по внутреннему по часовой.

Следствие: Если функция аналитична на расширенной плоскости за исключением конечного числа изолированных точек и все точки лежат внутри контура l, то тогда

Вычисление несобственных интегралов

Теорема. Пусть функция f(z) удовлетворяет условиям

1: z=¥ — ноль для функции f(z) порядка не ниже 2, т. е. f(z) в окрестности ¥ удаленной точки имеет разложение

2: f(z) — аналитична на действительной оси

3: f(z) в верх. полупл-ти имеет кон. число особых точек a1,a2,…,an

Теорема. Пусть функция f(z) удовлетворяет условиям

1: f(z)=eiazg(z) a>0 g(z)®¥ z®¥ Im³0

2: f(z) аналитична на действительной оси

3: f(z) в верхней полупл-ти имеет кон. число особых т-к a1, a2, … ,an

Если функция f(z) имеет особые точки на действительной оси, то тогда может не существовать

Если функция f(z) имеет на действительной оси конечное число простых полюсов, то рассматриваем в смысле главного значения

Теорема Если функция удовлетворяет предыдущей теореме и на действительной оси имеет конечное число простых полюсов x1, x2, …, xn тогда

­ ­

верхняя полуплоскость вся действительная ось

Билет N1

Ряды Фурье в комплексной форме

Билет N2

Интеграл Фурье

Билет N3

Преобразования Фурье

Билет N4

Сфера комплексных чисел

-Функции комплексного переменного

Билет N5

Предел последовательности и предел ф-ии.

Билет N6

Основные функции комплексного переменного

Билет N7

Производная. Условия Коши — Римана. (C-R).

Билет N8

Аналитические ф-ии. Дифференциал

-Связь аналитической ф-ии с гармонической

Билет N9

Геометрический смысл аргумента и модуля производной

Билет N10

Конформные отображения

Билет N11

Интегрирование ф-ии комплексного переменного

-Интеграл ф-ии компл. перем.

-Теорема об оценке

Билет N12

Вычисление контурных интегралов

-Замена переменной в контурном интеграле

-Теорема Коши

Билет N13

Теорема Коши для многосвязной области

-Независимость контурного интеграла от пути интегрирования

-Неопределенный интеграл.

-Формула Ньютона — Лейбница

Билет N14

Формула Коши

Производные высших порядков от аналитической ф-ии

Билет N15

Числовые ряды

Функциональные ряды

Степенные ряды

Билет N16

Ряд Тейлора.

Билет N17

Ряд Лорана

Билет N19

Особые точки

-изолированная особая точка

-устранимая особая точка

-полюс m-го порядка

-существенно особая точка,

-нуль функции

Билет N20

Вычеты функций

-Вычеты функций в конечной изолированной особой точке

-Основная теорема о вычетах

-Вычет функции в полюсе

Билет N21

Вычет функции в бесконечно удаленной точке

-Вычисление несобственных интегралов

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод