Ряды Фурье в комплексной форме

тогда Комплексная форма ряда Фурье

, где

Так как явл. сопряж. , то члены ряда с номером n и — n явл. комплексно спряж., поэтому å этих членов дает действительную величину и называется n-ная гармоника. При этом амплитуда этой гармоники вычисляется по формуле:

Интеграл Фурье

Пусть ф-ия f(x) определена от -¥ до +¥ и ф-ия абсолютно интегрируема => $

Разложим ф-ию f(x) на интервале — l до l в ряд Фурье.

при ( l -> ¥)

значение -> 0 при l -> +¥

эти значения дискретной величины zÎ(0;+¥)

значение -> 0 при l -> +¥

Эту сумму м. рассматривать как интегральную сумму ZÎ(0; +¥) Интеграл Фурье для f(x). Интегральная формула Фурье.

Теорема:

Пусть ф-ия f(x) кусочно дифф-ма на " конечном отрезке от a до b содержащемся в интервале

от -¥ до +¥ ([a, b] Ì (-¥; +¥)) и абсолютно интегрируема на нем же, тогда интеграл Фурье сходится в точках непрерывности.

Док-во:

1. Частный случай f(x) — четная

f(x)cos(zt) — четная

f(x)sin(zt) — нечетная

(2)

2. Частный случай f(x) — нечетная

f(x)cos(zt) — нечетная

f(x)sin(zt) — четная

(3)

Замечание:

Если ф-ия f(x) задана на (0; +¥) и удовлетворяет на нем всем условиям теоремы, то продолжая

ф-ию на отрицательную полуось четным или нечетным образом можно пользоваться

формулами (2) и (3).

Преобразования Фурье

четная относительно Z

Составим непрерывна по Z и нечетна.

Достаточно, чтобы он сходился в смысле главного значения

$ v. p.

(4)

Комплексная форма интегральной формулы Фурье

Представим эту формулу в виде суперпозиции 2-х

— преобразование Фурье

— обратное преобразование Фурье для ф-ии F(z)

Говорят, что задано разложение на гармонике с непрерывно меняющейся частотой ZÎ(0; ¥)

ф-ии A(z) и B(z) задают закон распределения амплитуд, начальных фаз и частот.

1. f(x) — четная

— можно рассматривать как суперпозицию

— Cos — преобразование Фурье ф-ии f(x)

Симметричность Fc(z) и f(x) означает явл. взаимно Cos-преобразование Фурье

Сопряженное по Коши I — рода.

2. f(x) — нечетная

— можно рассматривать как суперпозицию

— Sin — преобразование Фурье ф-ии f(x)

Fs(z) и f(x) взаимно Sin — преобразования Фурье (сопряженные по Коши II — рода)

1. f(x) — четная

F(z) = Fc(z) при z < 0 отображается четным образом

2. f(x) — нечетная

F(z) = Fs(z) при z < 0 отображается нечетным образом

3 f(x) — общего положения

f(x) = g(x) + h(x) g(x) — четная h(x) — нечетная

(где Gc и Hs — cos и sin преобразования Фурье.)

Теория функций комплексного переменного.

1. Сфера комплексных чисел.

Пусть дана некоторая пл-ть и дано начало отсчета, проведем сферу, которая касается пл-ти в начале координат. Построим диаметрально противоположную точку М к точке О и будем соединяти произв. т. Z с т. М. Отрезок ZM пересекает сферу в т. z. Между т. сферы и т. плоскости устанавливается взаимооднозначное соответствие (крома т. М), которая называется стереографической проекцией.

Введем в рассмотрение т. z = ¥, которая называется бесконечно удаленной т. и на сфере этому числу соответствует т. М Плоскость z в месте z = ¥ будем называть расширенной плоскостью z.

Все точки, кроме z = ¥ называются конечными точками.

2. Функции комплексного переменного

e — окресностью конечной т. z0 называется круг с центром в т. z0 и радиусом e: |z — z0| < e

e — окресностью бесконечной т. z0 называется круг с центром в т. z0 = ¥ и радиусом e: |z| >1/e

Чем меньше e, тем меньше окрестность.

Мн-во D — мн-во расширенной пл-ти z

т. z мн-ва D называется внутренней, если все точки e-окресности т. z0 принадлежат мн-ву D.

т. z наз. граничной, если ­" e-окр. содержит как точки принадлежащие мн-ву, так и не принадлежащие мн-ву.

Мн-во всех граничных точек мн-ва D называется границей.

Мн-во, состоящее из одних внутренних точек называется открытым.

Если " две точки мн-ва D можно соединить непрерывной линией целиком содержащейся в D, то мн-во D назыв. связным множеством.

Областью назыв. открытое связное мн-во.

Мн-во точек, состоящих из обл. D и ее границы назыв. замкнутой областью и обозначается `D.

Пл-ть Z явл. обл-ю с границей z = ¥, а расширенная пл-ть Z — это единственная обл., которая не имеет границ.

Виды границ: разрез, замкнутый контур, точка, замкнутая линия.

Границы рассматривают из конечного числа замкнутых линий, разрезов и точек. Число не связанных др. с др. частей из которых состоит граница назыв. порядком связности.

Положительным направлением обхода границы обл. назыв. направление при котором обл. всегда остается слева.

Говорят, что на мн-ве D задана ф-ия w = f(z), если каждой т. zÎD соотв. одна или несколько точек w. В случае, когда соотв. одна — ф-ия однозначная, в противном случае — многозначная.

Мн-во D назыв. обл. определения ф-ии. Мн-во E всех значений w назыв. мн-вом изменения ф-ии.

Если D и E обл., то будем обозначать их D и D.

Пусть: w = f(z)

z = x + iy, w = u + iv

u + iv = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

u = Re f(z) = u(x, y)

v = Im f(z) = v(x, y)

Для того, чтобы задать ф-ию компл. переменного надо задать две ф-ии двух действ. перем-х.

Ф-ию f(z) будем назыв. отображением, а т. w соответстьвующие z будем назыв. образами.

Отображение назыв. взаимнооднозначным или однолистным, если ф-ия f(z) однозначная и " двум точкам из мн-ва D соотв. различные точки из мн-ва E (образы не сливаются).

3. Предел последовательности и предел ф-ии.

Рассмотрим последовательность z1, z2, z3, z4, …. zn или { zn}

т. z0 = x0 + y0i назыв. пределом последовательности {zn} = {xn + iyn}, если x0 и y0 соотв. являются пределами последоват. {xn} и {yn}

" e > 0 $N n > N |zn — z0| < e

— бесконечно удаленная точка.

Пусть ф-ия w = f(z) определена и однозначно в некоторой окр-ти т. z0, за исключением быть может самой точки z0.

Конечная т. w0 = u0 + iv0 назыв. пределом ф-ии f(x) = u(x, y) + iv(x, y) при z -> z0, где z0 = x0+ iy0, если при x — > x0 y — > y0

т. w0 = ¥ назыв. пределом ф-ии f(z) при z — > z0, если |f(z)| — > ¥ при z — > z0

Все теоремы о пределах справедливы.

— конечная точка. "e > 0 $d > 0 |z — z0| < d |f(z) — w0| < e

— бесконечно удаленная точка. "e > 0 $d > 0 |z — z0| < d |f(z)| > 1/e

— "e > 0 $d |z| > 1/d |f(z) — w0| < e

Пусть ф-ия f(z) определена в т. z0.

Ф-ия f(z) назыв. непрерывной в т. z0, если и равен значению ф-ии в этой т.

Ф-ия f(z) назыв. непрерывной в бесконечной точке, если , где w0 — конечное число.

w0 — будем принимать за значение ф-ии в бесконечно удаленной точке.

Основные функции комплексного переменного.

Показательная ф-ция. "

Свойства: а)

Док-во:

б) Функция является периодической с чисто мнимым периодом , общий период Док-во:

Логарифмическая ф-ция. — определяется как обратная к показательной.

, логарифм , если Û Þ — «+» вещ. число.

, Î , Î

, Î — главн. знач. арг. в интеграле от 0 до

Логарифм – многозначная ф-ция. При получаем главное значение :

Если — действительное «+» число ; — главное значение ln

Свойства: а) б) в) г)

Док-во:

Тригонометрические ф-ции. — определяется ч/з показательные ф-ции.

При действительном получаем тригонометрические ф-ции действит. аргумента:

Функции и периодические и имеют наименьший период . Функции и периодические и имеют наименьший период .

, и — явл. периодом.

Все тригонометрические формулы верны

Обратные тригонометрические ф-ции. — определяемая как ф-ция обратная к тригоном.

Þ

± Þ Многозначность арксинуса определяется двузначностью корня и бесконечнознаностью логарифма.

Гиперболические ф-ции

т. к. и периодические ф-ции с периодом , то и — периодич. ф-ции с периодом .

и — периодич. ф-ции с периодом . Связь:

формулы, связывающие тригонометрические и гиперболические ф-ции:

Формулы для и получаются из тригонометрич. формул заменой на , на .

Ф-ции, обратные гиперболическим. Общая степенная ф-ция. , , Î

ф-ция многозначная, главное значение определяется по формуле:

Общая показательная ф-ция. (a¹0, ) — ф-ция многозначная, главное значение ф-ции
5. Производная. Условия Коши — Римана. (C-R).

Пусть задана однозначная ф-ия w = f(z) в окресности некоторой т. z.

Придадим приращение z — z + Dz Î окресности.

Dw = f(z + Dz) — f(z)

назыв. производной ф-ии f(z) и ф-ия f(z) назыв. дифференц-й в т. z

w = u(x, y) + iv(x, y) z = x + iy Dz = Dx + iDy

Dw = u(x + Dx, y + Dy) + iv(x + Dx, y + Dy) — u(x, y) — iv(x, y) =

u(x + Dx, y + Dy) — u(x, y) + i (v(x + Dx, y + Dy) — v(x, y)) = Du + iDv

предел сводится к вещественной переменной.

Из дифференцированности ф-ии следует ее непрерывности, обратное неверно.

Теорема:

Для того, чтобы ф-ия f(z) = u(x, y) + iv(x, y) была дифф-ма в некоторой точке необходимо и достаточно чтобы:

1) ф-ии u(x, y) и v(x, y) были дифф-мы в этой точке и в этой точке выполнялись неравенства:

(C-R)

Док-во:

1) Необходимость ф-ия f(z) дифф-ма в некоторой точке.

$ этот предел не зависит от изменения z + Dz — > z

1. (Dy = 0)

2. (Dx = 0)

Отсюда = >, что

2) Достаточность. ф-ии u и v дифф-мы и даны условия (C-R), требуется док-ть, что f(z) — дифф-ма.

Du(x, y) = u(x + Dx, y + Dy) — u(x, y) = | z | =

Dv(x, y) = v(x + Dx, y + Dy) — v(x, y) = | z | =

Dw = Du + iDv =

— б. м.

6. Аналитические ф-ии. Дифференциал

Ф-ия f(z) однозначна и дифф-ма в каждой т. обл. D назыв. аналитической (регулярной) в обл. D

Ф-ия f(z) назыв. аналитической в конечной т., если она является аналитической в некоторой окресности этой точки.

Условие аналитичности более жестко, чем условие дифф-ти ф-ии в т.

Точки пл-ти z в которых ф-ия аналитична называются правильными, а т. в которых ф-ия не явл. аналитичной назыв. особыми.

Дифференциалом ф-ии f(z) аналитической ф-ии в конечной т. z назыв. главная линейная по отношению к Dz часть приращения ф-ии.

Dw = f’(z)Dz + Dza = > dw = f’(z)dz

Связь аналитической ф-ии с гармонической

Выясним, может ли ф-ия u(x, y) явл. вещественной частью

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) — аналитична, т. е. во всех т. выполняется условие (C-R)

(по x)

(по y)

Продифф-м ур-ие 1 по y, а 2 по x = > ф-ия v гармоническая.

Гармонические ф-ии, удовл. условиям (C — R) назыв-ся взаимно сопряженными.

Действительная и мнимая части аналитической ф-ии явл. взаимно сопряженными.

7. Геометрический смысл аргумента и модуля производной

Пусть задана ф-ия f(z) аналитическая в обл. D z0ÎD, f’(z) ¹ 0.

w = f(z)

z = z0 + Dz

w = w0 + Dw

Предел отношения б. м. расстояния м/д z и z0 равен постоянной величине |f’(z0)|, поэтому эту величину м. рассматривать как коэффициент растяжения в т. z0 отображения w = f(z),

если |f’(z0)| > 1 — растяжение пл-ти

если |f’(z0)| < 1 — сжатие пл-ти

= > Y` — F` = Arg f’(z) = >

Т. к. |f’(z)| ¹ 0, то аргумент определен однозначно и значит $ постоянный угол (Arg f’(z0)), на который нужно повернуть касательную для того, чтобы получить направление касательной в образе.

Arg f’(z0) назыв. вращением при отображении w = f(z), если

Arg f’(z0) > 0 — поворот против часовой стрелки

Arg f’(z0) < 0 — поворот по часовой стрелки

Если провести несколько касательных, то каждая касат. повернется на один и тот же угол

Arg f’(z0) = > угол м/д касат. сохраняется, т. о. аналитическое отображение обладает св-вом консерватизма (сохранности) углов.

8. Конформные отображения

Рассм. w = f(z) и |f’(z0)| ¹ 0. построим в окр-ти z0 некоторую б. м. фигуру, тогда ей будет соотв. б. м. др. фигура, которая будет подобна данной: углы равны, а стороны пропорциональны.

|f’(z0)| — коэффициент пропорциональности.

Отображение обладающее св-вом консерватизма углов и св-вом постоянства растяжения назыв. конформным отображением I — го рода.

Теорема: Аналитическое отображение конформно в кажд. т., где производная = 0.

Теорема: Отображение конформно в обл. D, если она конформна в каждой т. обл. D

Теорема: Если отображение конформно в обл. D, то ф-ия w = f(z) аналитична и производная во всех т. обл. D ¹ 0.

Отображение обладающее св-вом постоянства растяжения и сохраняемости углов по абсолютной величине, но изменению направления отсчета на противоположный назыв. конформным отображением II — го рода.

9. Интегрирование ф-ии комплексного переменного

Интеграл ф-ии компл. перем.

Пусть в обл. D задана непрерывная ф-ия w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) и также задана в обл. D кусочно-гладкая линия с началом в т. z0 и с концом в т. z

Направление движения от z0 к z. Линия м. б. замкнута.

Проведем разбиение линиии l на n-частей

z0, z1, z2,z3,…,zn— z

Dzk = zk — zk-1 Dxk = xk — xk-1 Dyk = yk — yk-1

Dzk = Dxk + iDyk

На каждом i-том участке выберим произвольным образом т.

Yk =xk — ihk и найдем значение этой точки f(Yk)Dzk и составим å

Будем устремлять |Dzk| — > 0 — > 0

Ф-ии u и v непрерывные, то пределы $ и равны криволинейным интегралам II-го рода, этот предел назыв. контурным интегралом.

Св-ва:

Рассмотрим ф-ию f(z) º 1 и составим

интегральную å

Если контур замкнутый, то .

Контурные интегралы обладают обычными св-вами криволинейных интегралов.

1. 2. a = const.

3. 4. Если ,то

5. Теорема об оценке

где М — наибольшее значение модуля ф-ии f(z) на контуре — длина линии

Док-во:

—

|Dzk| — длина хорды, вписанной в дугу

Вычисление контурных интегралов

Пусть линия задана парам. уравнениями x = x(t); y = y(t); t0, t1, тогда

Если линию м. параметризовать одним уравнением z = z(t) = x(t) + iy(t), то контурный интеграл:

Замена переменной в контурном интеграле

Производится аналогично в ф-иях вещественного переменного.

Пусть z = f(w) аналитическая ф-ия, которая взаимнооднозначно отображает линиюна линию , тогда контурный интеграл по линии :

Если контуром явл. луч, выходящий из т. z0 или окружность (часть окружности с центром в т. z0), то производится следующая замена

Если луч — — const, — изменяется.

Если окружность (часть окружности) — — изменяется, — const.

Причем переменные действительные.

Теорема Коши

Если ф-ия f(z) аналитична в замкнутой односвязной обл. D, то контурный интеграл по " замкнутому контуру, содержащемуся в обл. D = 0.

Док-во: проведем док-во в предположении, что f’(z) — непрерывная ф-ия.

т. к f(z) — аналитична, то для нее выполняется усл. (C — R), а

выполнение этих условий и будет явл. условием = 0 криволинейного интеграла по замкнутому контуру.

Распространим т. Коши на случай многосвязной обл.

Пусть ф-ия f(z) аналитична в обл. D обл. D — 3-х связная

Произведем 2 разреза c1 c2.

Контур замкнутый односвязный, тогда по т. Коши

с другой стороны

Теорема Коши для многосвязной области

Если ф-ия f(z) аналитична в замкнутой, многосвязной обл., то интеграл по границе обл. D = 0, направление обхода положительно.

Если ф-ия f(z) аналитична в замкнутой односвязной обл., то интеграл от ф-ии по внешнему контуру = å интегралов по всем внутренним контурам, в часности если ф-ия f(z) аналитична в кольце, то

Независимость контурного интеграла от пути интегрирования

Пусть ф-ия f(z) аналитична в односвязной обл., тогда по т. Коши

контурный интеграл аналитической ф-ии не зависит от пути

интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точки

— форма записи.

Неопределенный интеграл. Формула Ньютона — Лейбница

Ф-ия F(z) назыв. первообразной для ф-ии f(z), если F’(z) = f(z). F(z) + C — мн-во первообразных

Неопределенным интегралом назыв. мн-во всех первообразных

Формула Ньютона — Лейбница выводится аналогично (самостоятельно)

Контурный интеграл от аналитической ф-ии в односвязной обл. = приращению проиводной