Шпаргалки по математике

1. Мн-во. Способы задания мн-в. Подмн-во. Простейшие правила рассуждений, проверка их правильности. Определяемые и неопределяемые понятия, способы определения понятий.

!Понятие мн-во относ-ся к основным неопределяемым понятиям. Обознач-ся заглавн. лат. б-вами(А, В,С..).Под множ-ом понимаем некот. совокупность, объект. Объекты, из к-рых состоят мн-ва наз-ся элементами мн-ва (мал. лат. б-вы а, в,с).

Связь м/у эл-том и мн-вом описывает отнош-е принадлежности (Є). Изображ. мн-во на плоскости с помощью диаграммы Эйлера-Венна. Мн-во не содерж ни одного элем-та назыв пустым(Ø)

!Мн-во наз-ся конечным, если оно содержит конечное число эл-тов, в противном случае мн-во наз-ют бесконечным. Заданным-если о любом объекте можно сказать принадлеж. он этому мн-ву или нет.

Способы задания мн-в:

1. С пом-ю перечисления эл-тов (в явном виде).А={1,2,3,4,5}

Можно задать только конечное мн-во.

Мн-ао б-в сл-а мат-ка В= {м, а, т, е, и, к}.

2. С пом-ю характеристического св-ва (в неявном виде).

Можно задать как конечное мн-во, так и бесконечное.

А={1,2,3,4,5}={х/хЄN, х<6}

С={xЄN| x<5}= {1.2.3.4} – конечн. мн-во – мн-во натур. чисел < 5

D={xЄR| x<5}=(-∞; 5) — бесконечн. мн-во – мн-во действит. чисел < 5

!Мн-во А наз-ют подмн-вом мн-ва В (АÍВ), если каждый эл-т мн-ва А, явл элем множ. В. АÍВ=> (хЄА=>хЄВ)

мн-во б-в сл-а «мат-ка», яв-ся подмн-вом б-в рус. алфавита.

!Мн-ва А и В наз-ся равными, если А яв-ся подмн-вом В и В яв-ся подмн-вом А. А=В=> АÍВ и ВÍА

!Мн-во А наз-ют собственной частью мн-ва В, если А яв-ся подмн-вом В и А≠В. АÌВ

Некоторые св-ва отнош-я включения:

1. АÍА

2. АÍВ и ВÍА, то А=В

3. АÍВ и ВÍС, то АÍС

4. Ø ÍА, где А – люб. мн-во

!Мн-во подмн-вом к-ого яв-ся люб. мн-во наз-ют универсальным (U).

-мн-во б-в рус. алфавита яв-ся универсальным для мн-в б-в рус. слов.

— все мн-ва яв-ся подмн-вом действит. чисел.

! Определением обычно наз-ют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Бывают явные и неявные.

В структуре явных определений выделяют 2 части: 1) определяемое понятие (прямоугольник) и 2) определяющее понятие (четырехугольник, у к-ого все углы прямые), в к-ром можно выделить род и видовое отличие (- св-во, к-рое позволяет выделить определяемые объекты из объема родового понятия).

Формулируя определения придерживаются ряда правил:

1. Опред-е д/б соразмерным.

2. В опред-ии не д/б порочного круга.

3. Опред-ие д/б ясным.

4. Одно и то же понятие можно определить по-разному.

Структура:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое понятие.

3. Перечислить св-ва, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т. е. сформул-ть видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия.

Неявные определения:

В контекстуальные опред-ях содерж-е нового понятия раскрывается ч/з отрывок текста, ч/з контекст, ч/з ан-з конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия.

Остенсивные опред-ия – опред-ия путем показа.

2. Операции над мн-вами. Св-ва этих операций.

!Объединением 2х мн-в А и В наз-ют мн-во обозначаемое АUВ, к-ое состоит из эл-тов принадлежащих хотя бы одному из мн-в. АUВ={x|xЄА или xЄВ}

хЄ АUВ=> 1. xЄА, х₡В 2. х₡А, xЄВ 3. xЄА, xЄВ

х₡ АUВ=> х₡А, х₡В

% В= {м, а,т, е,и, к} М= {п, е,д, а,г, о,и, к} ВUМ= {м, а,т, е,и, к,п, д,г, о}

% X=[-3;4] Y=(0;5) XUY=[-3;5]

!Пересечением 2х мн-в А и В наз-ют мн-во обозначаемое А∩В, к-рое состоит из эл-тов принадлежащих одновременно и тому и другому мн-ву. А∩В={x|xЄА и xЄВ}

хЄ А∩В=> xЄА и xЄВ

х₡ А∩В=> 1. xЄА, х₡В 2. х₡А, xЄВ 3. х₡А, х₡В

% В∩М={а, е,и, к}

% X∩Y=(0;4)

!Разностью 2х мн-в А и В наз-ют мн-во обозначаемое АВ, к-рое состоит из эл-тов принадлежащих А и не принадлежащих В. АВ={x| xЄА и х₡В}

хЄ АВ=> xЄА и х₡В

х₡ АВ=> 1. xЄА, xЄВ 2. х₡А, х₡В 3. х₡А, xЄВ

% ВМ={м, т} , МВ={п, д,г, о}

% XY=[-3,0] XY=(4,5)

!Дополнением мн-ва А до мн-ва В пусть множ. В подмн. Множ. А(ВÍА),тогда разность АВназыв дополнением множ Вдо множ А(А/В=ВА’)

Св-ва операций над мн-вами:

1. АUА=А А∩А=А

2. АU Ø= А А∩ Ø=Ø

3. АUᾹ=U А∩Ᾱ=Ø

4. коммуникативный (переместительный)

АUВ= ВUА А∩В= В∩А

5. ассоциативный (сочетательный)

(АUВ)UС= АU(ВUС)

(А∩В)∩С= А∩(В∩С)

6. дистрибутивный (распределительный)

(А∩В) UС= (АUС)∩ (ВUС)

(АUВ)∩С=( А∩С)U (В∩С)

7. де Морган

разность

разность

8. А(ВUС)= (АВ)∩(АС)

А(В∩С)= (АВ)U(АС)

Д-во: 1. А(ВUС) Í (АВ)∩(АС)| => А(ВUС)= (АВ)∩(АС) (диаграмма Эйлера)

(АВ)∩(АС) Í А(ВUС)|

2. хЄА(ВUС) =>хЄ(АВ)∩(АС)

хЄ А(ВUС) Û xЄА и х₡ ВUСÛ xЄА и х₡В и х₡С Û (xЄА и х₡В)и(xЄА и х₡С) Û хЄ АВ и хЄАС Û

хЄ(АВ)∩(АС).

!Объект состоящий из 2х различных эл-тов, порядок следования к-рых неважен наз-ют неупорядоченной парой. {а, b}= {b, а} а=b

!Объект состоящий из 2х необязательно различных эл-тов, в к-ром указан порядок следования эл-тов наз-ют упорядоченной парой при этом 1ый эл-т пары наз-ют 1ой компонентой или координатой, 2ой – 2ая компонента или координата. упорядоч. пара a, b — <a, b>, (a, b)

!2 упорядоч. пары наз-ся равными, если равны их соответствующие компоненты. <a, b>=<c, d>Ûa=c, b=d.

!Объект состоящий из n необязательно различных эл-тов, в к-ром указан порядок следования эл-тов наз-ют картежом длины n.

! 2 картежа длины наз-ся равными, если равны соответсвующие компоненты. <a1,a2…an>=<b1,b2…bn>Ûa1=b1,a2=b2,an=bn

! Мн-во упорядоченных пар, первые компоненты к-рых Є 1ому мн-ву А, а вторые мн-ву В наз-ют декартовым произведением мн-в A и B. АхВ={<a, b>|aЄА, bЄВ}

%A={1,2} B={a, b} AxB={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}

! Если мн-во А равно мн-ву У, то декартово произведение мн-в А и В наз-ют декартовым квадратом (А2=АхА, А=В)

! Даны n непустых мн-в А1, А2…Аn≠Ø мн-во в картеже длины n, первые компоненты к-рых принадлежат мн-ву А1, вторые — А2 ит. д., n-ая компонента Є Аn наз-ют декартовым произведением n–ых мн-в. А1хА2х…Аn= {<a1,a2…an>|a1ЄA1, a2ЄA2,anЄAn}

! Если А1=А2=…Аn=А≠Ø, то произведение декартово обозначают An, а число n наз-ют декартовой степенью мн-ва А.

Св-ва декартового произведения:

1. (А∩В)хС= (АхС)∩ (ВхС)

Док-во: док-ем по определению равн. мн-в: (А∩В)хСÍ (АхС)∩ (ВхС)

<x, y>Є(А∩В)хС Û хЄ А∩В, yЄC Û xЄА и xЄВ, yЄC Û <x, y>Є АхС и x, y>Є ВхС Û <x, y>Є(АхС)∩ (ВхС)

2. (АUВ)хС=(АхС) U (ВхС)

3. (АВ)хС=(АхС) (ВхС)

3.Соответствия между мн-вами. Граф и график соответствия. Взаимооднозначное отображение на мн-во. Равномощные мн-ва.

Соответствие S действующее из мн-ва А во мн-во В (S:А->В) наз-ют любое не пустое подмн-во S декартового произведения (SÍАхВ) мн-в А и В, при этом мн-во А наз-ся обл. отправления соответствия, мн-во В обл. прибытия.

А={1,2} B={a, b,c} S1={(1,a),(1,b),(2,b)}ÍAxB

Графиком соответствия S:А->В наз-ют мн-во всех точек плоскости с координатами x, y таких, что пары x, yЄS. Г={(x, y)ЄR2/<x, y>Є S}

Способы задания соответствия:

1. В явном виде: S1={(1,a),(1,b),(2,b)}ÍAxB

2. В неявном виде: S2={(x, y)ЄR2 /x-y=3}

3. С помощью диаграмм или графика.

Стрелочные диаграммы испол-ся для изображ-я конечных соотв-ий.

4. Табличный: S={(1,2),(1,3),(4,2),(3,3)} А={1,2,3,4} S:А->А

Мн-во первых компонентных пар, принадлежащих данному соответствию наз-ют обл. определения соответствия.

D(S)={xЄA/(EyЄB)(x, y)ЄS}

Мн-во вторых компонент пар принадлежащих соответствию S действующего из А в В наз-ют обл. значения соответствия. E(S)={yЄB/(ExЄA) (x, y)ЄS }

Виды соответствий:

1. Соответствие наз-ют всюду определенным, если его обл. значения совпадает с обл. отправления.

Соответствие S действующее из А в В яв-ся всюду определенное, если выполняется след. условие:

(VxЄA)( EyЄB)((x, y)ЄS)