Шпаргалки по дифурам

Виды дифференциальных уравнений. Интеграл дифференциального уравнения. Общий интеграл. Интегральная кривая.

Виды ду:

— Уравнения с разделяющимися переменными:

— Однородные уравнения:

— Линейные дифференциальные уравнения:  

— Уравнения Бернулли:

— Уравнения Риккати:

— Уравнения Якоби:

— Уравнения в полных дифференциалах :

— Уравнения Клеро:

— Уравнения Лагранжа:

— Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли: ,

Решением (интегралом) ду порядка n называется функция y(x), имеющая на

некотором интервале (a, b) производные    до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.

Общий интеграл дифференциального уравнения — это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x, y,C1,C2,C3,…Cn) = 0.

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых , где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.

Задача Коши. Существование и единственность решений уравнений n-го порядка и систем уравнений.

Задача Коши, x0, y0 — начальные данные:

Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a, b>, включающем x0, являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).

Определение. Решением интегрального уравнения:

,является функция , которая определена на <a, b> принадлежит x0 и

1.   (непрерывна)

2.   <a, b>

3.  подстановка  превращает уравнение (3) в тождество.

Лемма. Функция  является решением задачи Коши тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения.

Теорема: Существует единственное решения ДУ n-го порядка

yn= f (x, y, y’, y’’ , … y(n-1))удовлетворяющее условию: y (x0) = y0, y’ (x0) = y0`, y«( x0)= y0 ‘’ , … , y(n-1) (x0) = y0(n-1)

Если в окрестности нач. знач. (x0 , y0 , y«0, … , y0(n-1))

Функция f является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам начиная со второго.

Теорема: Существование и единственности решения системы :

(3.9)

Предположим , что в области D , определённой неравенствами:

x0 – a <= x <= x0 + a i = (1, 2, … ,)

–

правые части уравнения (3.9) удовлетворяют условиям :

1.  Все ф-ции (x, )- непрерывны, сл-но и ограничены. i= (1, 2, … , n) │fi│ M

2.  Все ф-ции fi(x, ) удовлетворяет условию Липшица

Уравнения вида , .

Некоторое уравнение путем подходящей замены переменных, можно привести к уравнению с разделенными переменными.

, где а и b –постоянные числа, которые заменой z = ax + by приводят к уравнению с разделенными переменными.

; f (z) ; = dx; x = + C Напомним, что функция Ф(x , y) называется однородной степени k, если выполняется следующее неравенство Ф (tx, ty ) = Ф (x , y)

Правая часть однородного уравнения является однородной функцией х и у нулевой степени однородности, поэтому уравнение вида M (x, y) dx + N (x ,y) dy = 0 будет однородным, если M(x , y) и N (x , y) является однородными функциями x , y одинаковой степени однородности, то есть в этом случае .

Уравнение вида преобразуется в однородное уравнение путем переноса из начала координат в точку пересечения с координатами (x1,y1) прямых

Действительно в новых координатах

x = x – x1

y = y – y1

Свободный член в уравнениях этих прямых будет равен 0, коэффициенты при текущих координатах остаются неизменными, а производная