Учебные материалы по математике | Шпаргалки по дифурам | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Шпаргалки по дифурам


Виды дифференциальных уравнений. Интеграл дифференциального уравнения. Общий интеграл. Интегральная кривая.

Виды ду:

— Уравнения с разделяющимися переменными: p(x) q(y) y prime + r(x) s(y) = 0

— Однородные уравнения: y prime = f(y/x)

— Линейные дифференциальные уравнения: s(x)y prime + p(x)y + q(x) = 0 

— Уравнения Бернулли: s(x)y prime + p(x)y + q(x)y^n = 0

— Уравнения Риккати: s(x)y

— Уравнения Якоби:

(a_1 x + b_1 y + c_1)dx + (a_2 x + b_2 y + c_2)dy + (a_3 x + b_3 y + c_3)(xdy minus ydx) = 0

— Уравнения в полных дифференциалах : p(x,~y)dx + q(x,~y)dy = 0

— Уравнения Клеро: y = y prime x + p(y prime )

— Уравнения Лагранжа: y = f(y prime )x + p(y prime)

— Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли: y = x y prime + x^alpha f(y prime), y = x y prime + y^alpha f(y prime)

Решением (интегралом) ду порядка n называется функция y(x), имеющая на

некотором интервале (a, b) производные  y'(x), y''(x), ..., y^{(n)}(x)  до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.

Общий интеграл дифференциального уравнения — это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x, y,C1,C2,C3,…Cn) = 0.

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y = F(x)+ C, где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.

Задача Коши. Существование и единственность решений уравнений n-го порядка и систем уравнений.

Задача Коши, x0, y0 — начальные данные:

begin{cases}
frac{dy}{dx}=f(x,y), & text{(1)} \
y(x_0)=y_0; & text{(2) начальное условие}
end{cases}

Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a, b>, включающем x0, являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).

Определение. Решением интегрального уравнения:

y(x)=y_0+int_{x_0}^{x}f(s,y(s))ds, text{(3)}
,является функция y=phi(x), которая определена на <a, b> принадлежит x0 и

1.  phi in C<a,b> (непрерывна)

2.  (x,phi(x)) in G forall x in <a, b>

3.  подстановка y = phi(x) превращает уравнение (3) в тождество.

Лемма. Функция y=phi(x) является решением задачи Коши тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения.

Теорема: Существует единственное решения ДУ n-го порядка

yn= f (x, y, y’, y’’ , … y(n-1))удовлетворяющее условию: y (x0) = y0, y’ (x0) = y0`, y«( x0)= y0 ‘’ , … , y(n-1) (x0) = y0(n-1)

Если в окрестности нач. знач. (x0 , y0 , y«0, … , y0(n-1))

Функция f является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам начиная со второго.

Теорема: Существование и единственности решения системы :

(3.9)

Предположим , что в области D , определённой неравенствами:

x0 – a <= x <= x0 + a i = (1, 2, … ,)

правые части уравнения (3.9) удовлетворяют условиям :

1.  Все ф-ции (x, )- непрерывны, сл-но и ограничены. i= (1, 2, … , n) │fi M

2.  Все ф-ции fi(x, ) удовлетворяет условию Липшица

Уравнения вида , .

Некоторое уравнение путем подходящей замены переменных, можно привести к уравнению с разделенными переменными.

, где а и b –постоянные числа, которые заменой z = ax + by приводят к уравнению с разделенными переменными.

; f (z) ; = dx; x = + C Напомним, что функция Ф(x , y) называется однородной степени k, если выполняется следующее неравенство Ф (tx, ty ) = Ф (x , y)

Правая часть однородного уравнения является однородной функцией х и у нулевой степени однородности, поэтому уравнение вида M (x, y) dx + N (x ,y) dy = 0 будет однородным, если M(x , y) и N (x , y) является однородными функциями x , y одинаковой степени однородности, то есть в этом случае .

Уравнение вида преобразуется в однородное уравнение путем переноса из начала координат в точку пересечения с координатами (x1,y1) прямых

Действительно в новых координатах

x = x – x1

y = y – y1

Свободный член в уравнениях этих прямых будет равен 0, коэффициенты при текущих координатах остаются неизменными, а производная

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод