Учебные материалы по математике | Шпаргалки по алгебре | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Шпаргалки по алгебре


Вопрос 1.

Определение группы, св-ва. Коммутативные (абелевы) группы. Конечные группы. Примеры групп.

п.1 Бинарная (алгебраическая) операция.

Опр.: А≠Æ. А×А={(а, b):а, b Є А}- декартов квадрат мн-ва А(т. е. мн-во всех пар элементов мн-ва А), а, b — компоненты.

Бинарной операцией на мн-ве А н-ся отображение (*)А×А→А, которое каждой паре (а, b)→!с=а*b ЄА. Элемент с наз-ют композицией элементов a и b.

Часто используются аддитивные и мультипликативные формы записи бинарной операции.

При аддитивной форме записи бинар. операцию (*) наз-ют сложением и обозначают знаком «+». В этом случае вместо записи с=а*b пишут с=а+b. с — сумма элементов а и b.

При мультипликативной записи: (*) н-ют умножением и обозначают (·). В этом случае пишут с=а·b. с-произведение а и b.

п.2 Виды бинарных операций.

Опр.1. Бин. операция (*) н-ся коммутативной Û " а, bЄА:а*b=b*a.

Опр.2. Бин. операция (*) н-ся ассоциативной Û " а, b, c ЄА: (а*b)*с=а* (b*с).

Опр.3. (*),(◦)-бин. операции на А. (◦)- н-ся дистрибутивной относительно (*)Û"а, b, с Є А: (а*b) ◦c=(a◦c) * (b◦c).

Пример: 1. Z, (+),(·);(комм., ассоц.) 2. Z, (-) (неком.,неассоц.) 3. М — произвольное мн-во, Р(М) — мн-во всех подмн-в мн-ва М. ∩ и — бинарные операции на мн-ве Р(М). Они комм. и ассоц.

п. 3 Нейтральные элементы.

Опр. А≠Æ, qЄА, (*)-бин. операция на мн-ве А.

q — нейтральный элемент относительно (*)Û" а Є А: а*q=q*а=а.

При аддитивной записи бин. операции: 0 – нулевой элемент.

При мультипликативной записи: e – единичный элемент.

Примеры: Z, +,0; Z, ·,1;

Р(А),È, Æ-нейтр. отн. È эл-т, т. к. "С Є Р(А):С È Æ=С;

Р(А),Ç, А-нейтр. отн. Ç эл-т, т. к. "С Є Р(А):С Ç А=С;

Т1. А, (*) – бин. операция.

Если нейтральный элемент q $относительно операции (*), то он единственен.

Док-во: Пусть $ q и q’ – нейтральные. Тогда по определению нейтрального элемента имеем

в частности,

ч. т.д.

п. 4 Симметричный элемент.

Опр. А, (*)- бин. операция, q-нейтральный элемент.

а’ наз-ся симметричным к элементу а относительно (*) Û а’*а=а*а’= q.

При аддитивной записи –а — симметричный элемент к а.

При мультипликативной записи а-1 – симметричный элемент к а, он наз-ся обратным к а.

Пример: Z6 ={,,,,,}- мн-во классов вычетов по модулю 6.

В одном классе располагаются числа, имеющие одинаковые остатки при делении на 6. Нейтр. отн. «+» эл-т — , прот-ый к кл. отн. «+» эл-т – кл. , т. к.+==,

Нейтр. отн. «» эл-т —

-1 -? -1=, т. к. ·==

Т2. А≠Æ, (*) – ассоциативная бин. операция на А, q- нейтральный.

Тогда: 1). Симметричный элемент, если он $, то он единственен;

2). (а*b)’=b’*a’.

Док-во: 1. Пусть s, t – симметричные элементы к а:

s*a=a*s=q (1)

t*a=a*t=q (2)

s=s*q=(по (2))=s*(a*t)=(ассоц.)=(s*a) *t=(по (1))= q*t=(опр. нулевого эл-та)=t , s=t.

2. (a*b) *(b’*a’)=(ассоц.)=((a*b) *b’)*a’=(ассоц.)= (a*(b *b’))*a’=(симм.)= (a*q) *a’=а*а’=q.

(b’*a’) *(a*b)= q — аналогично.

(a*b) *(b’*a’)= q, (b’*a’) *(a*b)= q Þпо опр. b’*a’=(a*b)’ ч. т.д.

п. 5 Определение группы.

Опр. А≠Æ, (*)- бин. операция на А. А- группаÛ

1° (*)- ассоц.

2° $ нейтральный элемент q

3° " а Є А $ симметричный элемент а’ЄА.

Группа А наз-ся коммутативной (абелевой)Û (*)- коммутативная операция.

Группа А наз-ся конечной, если А — конечное мн-во, при этом число элементов мн-ва А наз-ся порядком группы А.

Если А — бесконечное мн-во, то группа А бесконечная группа.

Св-ва группы:

1. Нейтральный эл-т в группе единственен.

2. Каждый эл-т группы имеет только один симметричный эл-т (Т2).

3. Симметричный к симметричному есть сам эл-т (а’)’=а.

Док-во: По опр. сим. эл-та имеем а’* (а’)’=q

Тогда а= а*q=а*(а’*(а’)’)=(а*а’)* (а’)’=q* (а’)’=(а’)’ ч. т.д.

4. Законы сокращения: 1. а*с=а*bÞ c=b; 2. c*a=b*aÞc=b

Док-во: а*с=а*b | *а’

а’*(а*с)= а’(а*b)

с=b ч. т.д.

5. " а, b ЄA, каждое уравнение a*x=b, y *a=b имеет единственное решение вида: (1) x=a’*b

y=b *a’

Док-во:

1). а’* b — решение (1)

а*(а’*b)=(ассоц.)=(а*а’) *b= q *b=b

2). Пусть с — решение (1). Тогда по опр. решения а*с=b | * а’ Û а’ *(а*с)= а’*b Û (а’*а)*с= а’*b Û с= а’*b.

Произвольная с совпадает с найденным Þ оно единственно. чтд

6. " а, b ЄA: (а*b)’=b’*а’ (Т2).

Аддитивная запись группы.

А≠Æ, + – бин. операция на А.

А-группа относительно +:

1°. " а, b, с Є А: а+( b+с)=(а+ b)+с

2°. $ 0 Є А" а ЄА: а+0=0+а=а (нулевой)

3°. " аЄА $ (-а)ЄА: а+(-а)=(-а)+а=0 (противоположный)

Мультипликативная запись группы.

А≠Æ, · — бин. операция на А.

А – группа относительно · :

1°. " а, b, с Є А: а·(b·с)=(а·b)·с

2°. $ e Є А" а ЄА: а·e=e·а=а (единственный)

3°. " аЄА $ ЄА: а·а-1=а-1·а=e (обратный)

п. 6 Примеры группы.

1) Z, Q, R, C – абелевы группы относительно +;

2) 2Z (четные целые)- абелева группа относительно +;

3) Мн-ва отличных от 0 эл-тов любого поля образуют абелеву группу по умножению — мультипликативная группа поля.

Т. о. получаем мультипликативные группы полей Q, R, C.

4) Группу по умножению составляют все положительные действительные числа. Эта группа коммутативна.

5) Кn – мн-во всех корней n-й степени из 1 в поле компл. чисел.

Кn={εk=cos}

Кn- группа по умножению порядка nЄN.

6) mЄN.

Zm ={,,,… ,}- мн-во классов вычетов по модулю m – группа по сложению, причем конечного порядка.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод