Шпаргалки по алгебре

Вопрос 1.

Определение группы, св-ва. Коммутативные (абелевы) группы. Конечные группы. Примеры групп.

п.1 Бинарная (алгебраическая) операция.

Опр.: А≠Æ. А×А={(а, b):а, b Є А}- декартов квадрат мн-ва А(т. е. мн-во всех пар элементов мн-ва А), а, b — компоненты.

Бинарной операцией на мн-ве А н-ся отображение (*)А×А→А, которое каждой паре (а, b)→!с=а*b ЄА. Элемент с наз-ют композицией элементов a и b.

Часто используются аддитивные и мультипликативные формы записи бинарной операции.

При аддитивной форме записи бинар. операцию (*) наз-ют сложением и обозначают знаком «+». В этом случае вместо записи с=а*b пишут с=а+b. с — сумма элементов а и b.

При мультипликативной записи: (*) н-ют умножением и обозначают (·). В этом случае пишут с=а·b. с-произведение а и b.

п.2 Виды бинарных операций.

Опр.1. Бин. операция (*) н-ся коммутативной Û " а, bЄА:а*b=b*a.

Опр.2. Бин. операция (*) н-ся ассоциативной Û " а, b, c ЄА: (а*b)*с=а* (b*с).

Опр.3. (*),(◦)-бин. операции на А. (◦)- н-ся дистрибутивной относительно (*)Û"а, b, с Є А: (а*b) ◦c=(a◦c) * (b◦c).

Пример: 1. Z, (+),(·);(комм., ассоц.) 2. Z, (-) (неком.,неассоц.) 3. М — произвольное мн-во, Р(М) — мн-во всех подмн-в мн-ва М. ∩ и — бинарные операции на мн-ве Р(М). Они комм. и ассоц.

п. 3 Нейтральные элементы.

Опр. А≠Æ, qЄА, (*)-бин. операция на мн-ве А.

q — нейтральный элемент относительно (*)Û" а Є А: а*q=q*а=а.

При аддитивной записи бин. операции: 0 – нулевой элемент.

При мультипликативной записи: e – единичный элемент.

Примеры: Z, +,0; Z, ·,1;

Р(А),È, Æ-нейтр. отн. È эл-т, т. к. "С Є Р(А):С È Æ=С;

Р(А),Ç, А-нейтр. отн. Ç эл-т, т. к. "С Є Р(А):С Ç А=С;

Т1. А, (*) – бин. операция.

Если нейтральный элемент q $относительно операции (*), то он единственен.

Док-во: Пусть $ q и q’ – нейтральные. Тогда по определению нейтрального элемента имеем

в частности,

ч. т.д.

п. 4 Симметричный элемент.

Опр. А, (*)- бин. операция, q-нейтральный элемент.

а’ наз-ся симметричным к элементу а относительно (*) Û а’*а=а*а’= q.

При аддитивной записи –а — симметричный элемент к а.

При мультипликативной записи а-1 – симметричный элемент к а, он наз-ся обратным к а.

Пример: Z6 ={,,,,,}- мн-во классов вычетов по модулю 6.

В одном классе располагаются числа, имеющие одинаковые остатки при делении на 6. Нейтр. отн. «+» эл-т — , прот-ый к кл. отн. «+» эл-т – кл. , т. к.+==,

Нейтр. отн. «» эл-т —

-1 -? -1=, т. к. ·==

Т2. А≠Æ, (*) – ассоциативная бин. операция на А, q- нейтральный.

Тогда: 1). Симметричный элемент, если он $, то он единственен;

2). (а*b)’=b’*a’.

Док-во: 1. Пусть s, t – симметричные элементы к а:

s*a=a*s=q (1)

t*a=a*t=q (2)

s=s*q=(по (2))=s*(a*t)=(ассоц.)=(s*a) *t=(по (1))= q*t=(опр. нулевого эл-та)=t , s=t.

2. (a*b) *(b’*a’)=(ассоц.)=((a*b) *b’)*a’=(ассоц.)= (a*(b *b’))*a’=(симм.)= (a*q) *a’=а*а’=q.

(b’*a’) *(a*b)= q — аналогично.

(a*b) *(b’*a’)= q, (b’*a’) *(a*b)= q Þпо опр. b’*a’=(a*b)’ ч. т.д.

п. 5 Определение группы.

Опр. А≠Æ, (*)- бин. операция на А. А- группаÛ

1° (*)- ассоц.

2° $ нейтральный элемент q

3° " а Є А $ симметричный элемент а’ЄА.

Группа А наз-ся коммутативной (абелевой)Û (*)- коммутативная операция.

Группа А наз-ся конечной, если А — конечное мн-во, при этом число элементов мн-ва А наз-ся порядком группы А.

Если А — бесконечное мн-во, то группа А бесконечная группа.

Св-ва группы:

1. Нейтральный эл-т в группе единственен.

2. Каждый эл-т группы имеет только один симметричный эл-т (Т2).

3. Симметричный к симметричному есть сам эл-т (а’)’=а.

Док-во: По опр. сим. эл-та имеем а’* (а’)’=q

Тогда а= а*q=а*(а’*(а’)’)=(а*а’)* (а’)’=q* (а’)’=(а’)’ ч. т.д.

4. Законы сокращения: 1. а*с=а*bÞ c=b; 2. c*a=b*aÞc=b

Док-во: а*с=а*b | *а’

а’*(а*с)= а’(а*b)

с=b ч. т.д.

5. " а, b ЄA, каждое уравнение a*x=b, y *a=b имеет единственное решение вида: (1) x=a’*b

y=b *a’

Док-во:

1). а’* b — решение (1)

а*(а’*b)=(ассоц.)=(а*а’) *b= q *b=b

2). Пусть с — решение (1). Тогда по опр. решения а*с=b | * а’ Û а’ *(а*с)= а’*b Û (а’*а)*с= а’*b Û с= а’*b.

Произвольная с совпадает с найденным Þ оно единственно. чтд

6. " а, b ЄA: (а*b)’=b’*а’ (Т2).

Аддитивная запись группы.

А≠Æ, + – бин. операция на А.

А-группа относительно +:

1°. " а, b, с Є А: а+( b+с)=(а+ b)+с

2°. $ 0 Є А" а ЄА: а+0=0+а=а (нулевой)

3°. " аЄА $ (-а)ЄА: а+(-а)=(-а)+а=0 (противоположный)

Мультипликативная запись группы.

А≠Æ, · — бин. операция на А.

А – группа относительно · :

1°. " а, b, с Є А: а·(b·с)=(а·b)·с

2°. $ e Є А" а ЄА: а·e=e·а=а (единственный)

3°. " аЄА $ ЄА: а·а-1=а-1·а=e (обратный)

п. 6 Примеры группы.

1) Z, Q, R, C – абелевы группы относительно +;

2) 2Z (четные целые)- абелева группа относительно +;

3) Мн-ва отличных от 0 эл-тов любого поля образуют абелеву группу по умножению — мультипликативная группа поля.

Т. о. получаем мультипликативные группы полей Q, R, C.

4) Группу по умножению составляют все положительные действительные числа. Эта группа коммутативна.

5) Кn – мн-во всех корней n-й степени из 1 в поле компл. чисел.

Кn={εk=cos}

Кn- группа по умножению порядка nЄN.

6) mЄN.

Zm ={,,,… ,}- мн-во классов вычетов по модулю m – группа по сложению, причем конечного порядка.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.