Шпаргалка по высшей математике 2015-2016

1)Элементы комбинаторики.

История ТВ свидетельствует о взаимном проникновении теории и практики. Первоначально ТВ возникла из анализа азартных игр, т. е какие ставки будут справедливы при заданных правилах. Аппаратом элементарной ТВ является комбинаторика.

Комбинаторика – наука о способах выбора объектов.

Пусть имеется множ-во А{а1,а2,…аn}, все an –различные. Мн-во упорядочено, если указан порядок расположения элементов. Перестановка – наз-ся любое упорядоченное мн-во, состоящее из nэлементов. Меняется только порядок. Pn=n‼— кол-во перестановок.

ПР: А{1,2,3}= мн-во из 3-х элементов. Р=3‼

Размещения из n элементов – наз-ся любое упорядоченное подмно-во, состоящее из n элементов мн-ва А{}. — размещение. Отличается как самими элементами, так и порядком. .

Сочетания из n элементов по m – наз-сф любое подмн-во мн-ва A, состоящее из n элементов. Соединения отличаются только самими элементами, порядок не важен. .

Если элементы повторяются, то формулы другие: .

1)Различные перестановки различаются друг от друга только порядком элементов.

2)Различные сочетания отличаются др от др только составом элементов.

3)Различные размешения могут отличаться др от др как составом, так и порядком элементов.

Свойства сочетаний:

1);

.

2);

;

3); .

4)

5);6)

2) Случайным событием наз-ся всякий фактор, который может произойти или не произойти в эксперименте.

Событие наз-ся достоверным, если оно обязательно произойдет и не возможно, если не произойдет.

Полной группой событий наз-ся мн-во событий которых хотя бы одно произойдет в результате эксперимента.

События называются несовместными, если в рез-те эксперимента они не могут появиться вместе.

Элементарными называются события, которые: — несовместны, — образуют полную группу, — равновозможные, — по известному элементарному событию можно судить произошло событие А или нет.

Вероятностью случайного события А наз-ся отношение числа благоприятных соб-ий к общему числу элем-х событий. P(A)=m/n.

Св-ва вероятности:

1)Р(Анев)=0 – вероятность невозможного события = 0;

2)Р(Адост)=1 – вероят-ть достоверного;

3)0<P(Aслуч)<=1 – случайное событие.

3)Статистическое определение вероятности. Геометрич. вер-ти. ПР.

Относит. частотой случайного события А – отношение числа испытаний, в которых событие А произошло к общему числу испытаний. W(A)=m/n.

Разница м/у частотой и вероятностью состоит в том, что вероятность определяется до опыта, а частота после проведения опыта.

Опытным путем установлено: устойчивость относительной частоты, т. е частота меняется тем меньше, чем больше проводится испытаний, колеблясь вокруг некоторого постоянного значения.

Оказалось, что это значение и будет вер-тью событий.

— вер-ть случайного события.

Для существования статистической вер-ти требуется два условия:

1)принципиальная возможность проводить неограниченное число опытов;

2)устойчивость относительной частоты;

Недостаток- его неоднозначность.

Геометрическое определение вероятности.

Пусть условия опыта таковы, что вероятность попадания точки в некоторой области.

wϵΩ, P(w) – повышается с ростом w.

Тогда Р(А)=.

4)Операции над случайными событиями. Диаграмма Эйлера.

Будем обозначать все мн-во ч/з прямоугольник. Случайное событие А.

1)А — противоположное событие. Не А.

Пр. в семье 5 детей, какова вероятность что мальчиков больше(что девочек больше).

2)и А и В

3)А+В или А или В

ПР:событие А-идет дождь, В-падпет снег. А+В-солнечная погода.(не А)

5)Теорема сложения вероятностей для несовместных и совместных событий. Свойства.

Рассмотрим ряд теорем позволяющим одним событиям судить о вероятности др более сложных событий.

События А и В называются СОВМЕСТНЫМИ, если в рез-те одного испытания могут появиться сразу оба события; и НЕСОВМЕСТНЫМИ в противоположном случае.

Теорема1: если А и В несовместны, то вероятность суммы = сумме вероятностей => P(A+B)=P(A)+P(B)

Док-во: проводится n испытаний.

А-m1 исход и В-m2 исход.

(А+В)=(m1+m2) исход

P(A+B)=(m1+m2)/n

P(A)=m1/n; P(B)=m2/n. => чтд.

Следствие1: событие А1,А2,А3….Аn, то =>,

Следствие2: P(A)=1- P(A).

Док-во: {А, А}-образуют полную группу, поэтому P(A)+P(A)=1.

6)Условная вероятность. Т-ма умножения для завис-х и незав-х событий. Т-ма сложения вер-тей для совместных событий. ПР.

Т-ма 1: Условная вер-ть.

Опр-е (нестрогое):Условные вероятности события А при условии наступления события В (PB(A)) вероятность события А вычтенное в предположении, что событие А произошло: PB(A)=P(B/A)

ПР: студент в аудитории носит очки – А, что девушка – В, P(A/B) – это вер-ть того, что наудачу выбранная девушка носит очки.

P(A/B)=N(AB)/N(B)= P(AB)/ P(B)

Опр-е(строгое): пусть В – событие, имеющее не 0 вер-ть, и А – произвольное случайное событие, тогда условная вер-ть события А при наступлении события В:

P(B)≠0, P(A/B)=P(AB)/P(B).

Т—ма 2 : теорема умножения.

P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(B/A)

Опр-е: событие В наз-ся независимо от события А, если вер-ть наступления события В не зависит от того, произошло событие А или нет: P(B)=P(B/A),

Если В не зависит от А, то теорема умнож-я примет вид: P(AB)=P(A)P(B), P(A)P(B)=P(B)P(A/B) – и мы получили, что событие А тоже не зависит от события В. Т. е понятие независимых событий взаимно.

Для независимых событий те-ма умножения: P(AB)=P(A)P(B)иногда эта формула принимается за опред-е независимости события.