Шпаргалка по высшей математике 2015

1.  Матрицы. Осн понятия. Действия над матрицами.

Матрица— прямоуг-я таблица, образованная из чисел и содержащая m-строк и n-столбцов.m=n – матрица квадратная. n — порядок матрицы. Матрица, состоящая из строки назыв-ся строкой или вектор-строкой. Матрица, состоящая из столбца — столбцом или вектор-столбцом. Транспонированная матрица()- матрица, получ-ся из матрицы А заменой строк столбцами. Важнейшими алгебраич-ми операциями над матрицами явл: 1) сложение матриц (А+В) 2)умножение матрицы на число(αА) 3)умножение матриц(А*В). если А=В, то эти матрицы наз-ся перестановоч-ми(коммутирующими). Элементы квадратн. матрицы расположенные на пересеч-и итой строки и итого столбца образуют главную диагональ матрицы. Если все элементы такой матрицы кроме диагональных равны нулю – матрица диагональная. Если все диагональные элементы равны 1 – матрица единичная.

3.определители 2-го и 3-го порядка. Осн понятия. Методы вычисления.

Определитель— осн числовая хар-ка квадратной матрицы.

Определители 2 и 3 порядка равны произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление Определитель n-го порядка приводится к вычислению n определителей (n — 1)-го порядка.

Определители 3-го порядка также могут вычисляться по правилу треугольников(Саррюса).

10.Скалярное произведение векторов. Его свойства.

Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, обозночаемое  и равное произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними: a•b=|a|•|b|•cos(a^b)

Основные свойства скалярного произведения векторов: 
1. a •b = b• a; 
2. (λa)•b= а•(λb) = λ (a•b); 
3. a•(b+с) = a•b+a•с; 
4. a•b = | a | прa b = |b| прb| a |; 
5. a • a = | a |²; 
6. a • b = 0, если a ┴ b.

4.Общая схема исследования ф-ии и построение графика. Асимптоты графика

Схема исследования функции:

1)D(f), E(f).

2)интервалы знакопостоянства

3)интервалы монотонности ( (x)>0, (x)<0)

4)исслед-ие на четностьнечетность ( f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x))

5) исслед. На периодичность

6) точки пересечения с осями

7)Экстремумы

8)выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика ( )

9)асимптоты, пределы

10)схем. Постоение графика

Асимптоты – прямые к которым график ф-ии приближается столь близко, при х либо к ±∞.

Наклонные асимптоты: у=kx+b . k= . b=

Вертикальные асимптоты: необходимо найти точки разрыва

26.Дифференцирование сложной, неявной функций. Логарифмическая производная.

правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.Формула нахождения производной сложной функции.

Во многих задачах функция  y(x) задана невным образом, т. е. невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.

Алгоритм вычисления производной  y’(x) от неявной функции:

Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая, что y — это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции; Решить полученное уравнение относительно производной  y’(x).

Логарифмическая производная — производная от натурального логарифма функции.

7.Ранг матрицы. Методы нахождения ранга.

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т. е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число

Свойства ранга матрицы:

ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров;

ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица нулевая;

ранг матрицы не изменится, если из нее вычеркнуть все нулевые строки и столбцы;

ранг матрицы не изменится при ее транспонировании;

элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга

2.неприрывность ф-и в точке, на интервале, на отрезке. точки разрыва ф-и и их класс-я.

Функция y=f(x) называется неприрывной при х=(в точке ) если:

1)функция f(x) определена в точке и ее окрестностях 2)существует конечный предел функции f(x) в точке .

3)этот предел равен значению функции в точке .

Функция неприрывная во всех точках некоторой области,, называется неприрывной в этой области.

9. Обратная матрица. Свойства. Вычисление.

ВА=АВ=Е, матрица В обладающая таким свойством называется обратной по отношению к матрице А. В=.

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель исходной матрицы не равен нулю.

Формула нахождения обратной матрцы:

6. Условие принадлежности прямой к плоскости.

При Am+Bn+Cp=0, +++D=0 любое значение t является решением уравнения (Am+Bn+Cp)t+(+++D)=0, т. е. любая точка прямой принадлежит плоскости.