Ряды в комплексной области

Ряды в комплексной области.

2.1. Числовые ряды. Основные понятия

Ряд вида

=, (20)

составленный из комплексных чисел , является числовым рядом в комплексной области.

ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частичных сумм:

=

=.

ряд сходится тогда, когда сходится каждый из рядов и ; (21)

при этом число − является суммой ряда.

Если не существует, то ряд называется расходящимся.

Исследования сходимости ряда (20) сводятся к исследованию сходимости двух числовых рядов (21) с действительными членами. Следовательно, справедливы основные положения из теории рядов с действительными членами.

Ряд (20) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов:

 . (22)

Из абсолютной сходимости ряда (20) следует его сходимость. сходящиеся ряды можно почленно складывать и перемножать.

Задача 14. Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение

.

Используя формулу Эйлера , преобразуют

.

Тогда =.

Исследование сходимости исходного ряда сводится к исследованию сходимости двух числовых рядов.

Ряды и с действительными членами сходятся абсолютно. Следовательно, исходный ряд сходится также абсолютно.

Задача 15. Исследовать на абсолютную сходимость числовой ряд

.

Решение

Составляют ряд из модулей его членов , применяют признак Даламбера:

=.

Следовательно, ряд не сходится абсолютно.

Задача 16. Исследовать на абсолютную сходимость числовой ряд

.