Ряды в комплексной области — ряд тейлора

=|—|.

=.

Замечание:

Если облнеодносвязна, то имеет место интегральная формула Коши, но Г –совокупность контуров, которая обходится таким образом, чтобы обл. оставалась слева.

Примеры.

z=0,z=6.

А) Г:|z-2|=1

Б) Г:|z-2|=3 = — Пi/3.

В) Г:|z-2|=5 1. 1/z(z-6)=1/6 * 1/(z-6) * 1/6z

1/61/6=1/6*2Пi*| — 1/6*2Пi*|=Пi/3*e-Пi/3.

2. 2Пi*|+2Пi|=Пi/3 * (-1+e).

Теорема. Если аналитическая в односвязной обл и непрерывна в ,обл ограничена кусочно гладким контуром Г, то внутренней точки z, (z)

,Г обходят таким образом, чтобы оставалось слева.

Идея доказательства.

1/

мы можем дифференцировать под знаком по параметру z.

1/

2/

_ _ _

n!/. n!/.

Пример:

=2Пi/2!(sinz)|= — Пisini=Пsh1

Аналитическая в обл ф-ция дифференцируемая бесконечное число раз.

Каждая производная аналитической ф-ции также является аналитической ф-цией.

43. Ряды в комплексной области. Ряд Тейлора.

=+i

cx,