Ряды тейлора

Полученный числовой ряд сходится при условии или

, . Следовательно, исходный ряд равномерно сходится в области .

Задача 24. Найти сумму ряда

а); б) .

Решение

а) Данный ряд имеет вид и сходится при , в круге .

Последовательность частичных сумм

находят по формуле суммы членов геометрической прогрессии

.

При для членов бесконечной убывающей прогрессии получают сумму ряда =.

б) Для решения этой задачи используют свойство дифференцирования ряда . При дифференцировании получают

или .

Окончательно находят . сумма ряда будет при .

2.3. ряды Тейлора

Теорема

Любую аналитическую в круге функцию можно единственным образом разложить в этом круге в степенной ряд

=

 ,(28)

коэффициенты которого определяются по формулам

, (29)

где C − произвольная окрестность с центром в , лежащая внутри круга.

Степенной ряд (28) в рассматриваемом круге есть разложение функции по степеням или в окрестности точки . Ряд называется рядом Тейлора для функции .

Следует отметить, что суперпозиция аналитических функций (линейная комбинация, произведение, частное, при условии, что знаменатель дроби не равен нулю) будет аналитической функцией. Производная аналитической функции также является аналитической функцией (для действительных функций это не так).

Ряд Тейлора комплексной функции существует и сходится к самой функции .

Из теоремы следует, что радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки до ближайшей к ней особой точки функции , где нарушается аналитичность данной функции.

Используя формулы для коэффициентов (29), при получают разложения некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.

Основные разложения

(30)

(31)

(32)

. (33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

Задача 25.  Разложить в ряд функцию по степеням .

Решение

Разложение по степеням означает разложение функции в ряд в окрестности точки . Находят коэффициенты разложения по формулам (29) через производные :