Учебные материалы по математике | Ряд тейлора. ряд маклорена | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Ряд тейлора. ряд маклорена


Если степенной ряд сходится лишь в одной точке , то считаем . Если ряд сходится при всех , то считаем . На концах интервала, т. е. при сходимость проверяется отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (1) можно использовать признак Даламбера или признак Коши. Допустим, что существует предел: . Тогда по признаку Даламбера имеем: , тогда ряд сходимости для всех . Таким образом, радиус сходимости можно найти: (3)

Аналогично рассуждаем, если применить признак Коши, тогда радиус:

(4)

Замечание: Интервал сходимости степенного ряда (2) находят из неравенства и он имеет вид .

31.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

1.Ряд Тейлора – Если функция f(x) имеет производные любых порядков в окрестности точки , то можно записать разложений функций f(x) по степеням (): (1)

(1) – называется рядом Тейлора.

Если в формуле (1) положить , то получим разложение по степеням x, которая называется рядом Маклорена, т. е.:

(2)

Формулу (1) можно записать в виде: ,

где , многочлен Тейлора,

, , — остаточный член ряда Тейлора, записанный в форме Лагранжа. (3)

Ряд Тейлора можно формально записать для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки , однако он может быть расходящимся или сходится, но не к функции f(x).

Теорема: Для того чтобы ряд Тейлора (1) функции f(x) сходится к функции f(x) в точке x необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формула (3) стремился к нулю при . (4)

Задача разложения функции f(x) в степенной ряд сводится к определению значений x, при которых стремится к нулю. Если это сделать непросто, то следует использовать другой способ, например применить признак Даламбера и Коши.

2.Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена – для разложение функции f(x) в ряд Маклорена (2) надо:

1.Найти производные f(x), f(x) и т. д. fn(x);

2.Вычислить их значение в точке ;

3.Подставить в ряд (2);

4.Найти интервал сходимости ряда ли найти интервал (-R,R), в котором остаточный член ряда стремится к нулю. Эти интервалы совпадают;

Таблица основных разложений элементарных функций в ряд Маклорена:

1., ;

2., ;

3., ;

4., ;

5., ;

6., ;

7., ;

32.Разложение в ряд Маклорена функций еx , sin x.

:

1.Находим производные: ;

;

…………….

2.Вычислим значение функции в 0: ;

;

;

……………

;

3.Подставляем в ряд Маклорена: ;

4.Находим радиус сходимости: ; Интервал сходимости .

:

1.;

;

;

;

…………………………………..

;

2.;

;

;

;

;

……………

;

3.;

4.; Интервал .

33.Приложение степенных рядов. Приближенное вычисление значений функций. Вычислить sin1 с точностью δ= 10-3.

Приближенное значение вычисление значений функции: Пусть требуется вычислить значение функции f(x), при , с заданной точностью . Если функцию f(x) в интервале (-R,R) можно разложить в степенной ряд: и , т. е. , то точное значение сумме этого ряда, а приближенное значение равно частичной сумме этого ряда . Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого равенства равна: , где — остаток ряда. Таким образом, оценив остаток можно найти ошибку. А для знакочередующего ряда: .

Вычислить sin1 с точностью δ= 10-3:

;

. Этот ряд сходится по признаку Лейбница.

Сравним каждый ряд с : : ;

: ;

: ;- этот в сумму не включается.

. На калькуляторе .

34.Приложение степенных рядов. Приближенное вычисление интегралов. Вычислить интеграл с точностью δ= 10-3.

Приближенное вычисление интегралов: В теории вероятностей большое значение имеет интегральная функция Лапласса:

Для нее составлены таблицы значений.

Вычислим значение функции Лапласса с помощью разложения в ряд подинтегральной функции при x = 0,5, с точностью δ= 10-3 и сравним с табличным.

— не берущийся. Воспользуемся разложением функции : . Заменим x на ():

: ;

: ;

: ; — не включаем.

.

Из таблицы .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод