Ряд тейлора. ряд маклорена
Если степенной ряд сходится лишь в одной точке , то считаем
. Если ряд сходится при всех
, то считаем
. На концах интервала, т. е. при
сходимость проверяется отдельно.
Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (1) можно использовать признак Даламбера или признак Коши. Допустим, что существует предел: . Тогда по признаку Даламбера имеем:
, тогда ряд сходимости для всех
. Таким образом, радиус сходимости можно найти:
(3)
Аналогично рассуждаем, если применить признак Коши, тогда радиус:
(4)
Замечание: Интервал сходимости степенного ряда (2) находят из неравенства и он имеет вид
.
31.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
1.Ряд Тейлора – Если функция f(x) имеет производные любых порядков в окрестности точки , то можно записать разложений функций f(x) по степеням (
):
(1)
(1) – называется рядом Тейлора.
Если в формуле (1) положить , то получим разложение по степеням x, которая называется рядом Маклорена, т. е.:
(2)
Формулу (1) можно записать в виде: ,
где ,
— многочлен Тейлора,
,
,
— остаточный член ряда Тейлора, записанный в форме Лагранжа. (3)
Ряд Тейлора можно формально записать для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки , однако он может быть расходящимся или сходится, но не к функции f(x).
Теорема: Для того чтобы ряд Тейлора (1) функции f(x) сходится к функции f(x) в точке x необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формула (3) стремился к нулю при
.
(4)
Задача разложения функции f(x) в степенной ряд сводится к определению значений x, при которых стремится к нулю. Если это сделать непросто, то следует использовать другой способ, например применить признак Даламбера и Коши.
2.Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена – для разложение функции f(x) в ряд Маклорена (2) надо:
1.Найти производные f(x), f
(x) и т. д. fn(x);
2.Вычислить их значение в точке ;
3.Подставить в ряд (2);
4.Найти интервал сходимости ряда ли найти интервал (-R,R), в котором остаточный член ряда стремится к нулю. Эти интервалы совпадают;
Таблица основных разложений элементарных функций в ряд Маклорена:
1.,
;
2.,
;
3.,
;
4.,
;
5.,
;
6.,
;
7.,
;
32.Разложение в ряд Маклорена функций еx , sin x.
:
1.Находим производные: ;
;
…………….
2.Вычислим значение функции в 0: ;
;
;
……………
;
3.Подставляем в ряд Маклорена: ;
4.Находим радиус сходимости: ; Интервал сходимости
.
:
1.;
;
;
;
…………………………………..
;
2.;
;
;
;
;
……………
;
3.;
4.; Интервал
.
33.Приложение степенных рядов. Приближенное вычисление значений функций. Вычислить sin1 с точностью δ= 10-3.
Приближенное значение вычисление значений функции: Пусть требуется вычислить значение функции f(x), при , с заданной точностью
. Если функцию f(x) в интервале (-R,R) можно разложить в степенной ряд:
и
, т. е.
, то точное значение
сумме этого ряда, а приближенное значение равно частичной сумме этого ряда
. Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого равенства равна:
, где
— остаток ряда. Таким образом, оценив остаток можно найти ошибку. А для знакочередующего ряда:
.
Вычислить sin1 с точностью δ= 10-3:
;
. Этот ряд сходится по признаку Лейбница.
Сравним каждый ряд с :
:
;
:
;
:
;- этот в сумму не включается.
. На калькуляторе
.
34.Приложение степенных рядов. Приближенное вычисление интегралов. Вычислить интеграл с точностью δ= 10-3.
Приближенное вычисление интегралов: В теории вероятностей большое значение имеет интегральная функция Лапласса:
Для нее составлены таблицы значений.
Вычислим значение функции Лапласса с помощью разложения в ряд подинтегральной функции при x = 0,5, с точностью δ= 10-3 и сравним с табличным.
— не берущийся. Воспользуемся разложением функции
:
. Заменим x на (
):
:
;
:
;
:
; — не включаем.
.
Из таблицы .
Узнать стоимость за 15 минут
Распродажа дипломных
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Подпишись на наш паблик в ВК
Нужна работа?
Контрольная у наших партнеров