Ряд тейлора. ряд маклорена

Если степенной ряд сходится лишь в одной точке , то считаем . Если ряд сходится при всех , то считаем . На концах интервала, т. е. при сходимость проверяется отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (1) можно использовать признак Даламбера или признак Коши. Допустим, что существует предел: . Тогда по признаку Даламбера имеем: , тогда ряд сходимости для всех . Таким образом, радиус сходимости можно найти: (3)

Аналогично рассуждаем, если применить признак Коши, тогда радиус:

(4)

Замечание: Интервал сходимости степенного ряда (2) находят из неравенства и он имеет вид .

31.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

1.Ряд Тейлора – Если функция f(x) имеет производные любых порядков в окрестности точки , то можно записать разложений функций f(x) по степеням (): (1)

(1) – называется рядом Тейлора.

Если в формуле (1) положить , то получим разложение по степеням x, которая называется рядом Маклорена, т. е.:

(2)

Формулу (1) можно записать в виде: ,

где , — многочлен Тейлора,

, , — остаточный член ряда Тейлора, записанный в форме Лагранжа. (3)

Ряд Тейлора можно формально записать для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки , однако он может быть расходящимся или сходится, но не к функции f(x).

Теорема: Для того чтобы ряд Тейлора (1) функции f(x) сходится к функции f(x) в точке x необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формула (3) стремился к нулю при . (4)

Задача разложения функции f(x) в степенной ряд сводится к определению значений x, при которых стремится к нулю. Если это сделать непросто, то следует использовать другой способ, например применить признак Даламбера и Коши.

2.Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена – для разложение функции f(x) в ряд Маклорена (2) надо:

1.Найти производные f(x), f(x) и т. д. fn(x);

2.Вычислить их значение в точке ;

3.Подставить в ряд (2);

4.Найти интервал сходимости ряда ли найти интервал (-R,R), в котором остаточный член ряда стремится к нулю. Эти интервалы совпадают;

Таблица основных разложений элементарных функций в ряд Маклорена:

1., ;

2., ;

3., ;

4., ;

5., ;

6., ;

7., ;

32.Разложение в ряд Маклорена функций еx , sin x.

:

1.Находим производные: ;

;

…………….

2.Вычислим значение функции в 0: ;

;

;

……………

;

3.Подставляем в ряд Маклорена: ;

4.Находим радиус сходимости: ; Интервал сходимости .

:

1.;

;

;

;

…………………………………..

;

2.;

;

;

;

;

……………

;

3.;

4.; Интервал .

33.Приложение степенных рядов. Приближенное вычисление значений функций. Вычислить sin1 с точностью δ= 10-3.

Приближенное значение вычисление значений функции: Пусть требуется вычислить значение функции f(x), при , с заданной точностью . Если функцию f(x) в интервале (-R,R) можно разложить в степенной ряд: и , т. е. , то точное значение сумме этого ряда, а приближенное значение равно частичной сумме этого ряда . Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого равенства равна: , где — остаток ряда. Таким образом, оценив остаток можно найти ошибку. А для знакочередующего ряда: .

Вычислить sin1 с точностью δ= 10-3:

;

. Этот ряд сходится по признаку Лейбница.

Сравним каждый ряд с : : ;

: ;

: ;- этот в сумму не включается.

. На калькуляторе .

34.Приложение степенных рядов. Приближенное вычисление интегралов. Вычислить интеграл с точностью δ= 10-3.

Приближенное вычисление интегралов: В теории вероятностей большое значение имеет интегральная функция Лапласса:

Для нее составлены таблицы значений.

Вычислим значение функции Лапласса с помощью разложения в ряд подинтегральной функции при x = 0,5, с точностью δ= 10-3 и сравним с табличным.

— не берущийся. Воспользуемся разложением функции : . Заменим x на ():

: ;

: ;

: ; — не включаем.

.

Из таблицы .