Ряд лорана

R=

R=

На границе может быть точка, в которой ряд сх и расх

Внутри круга сходимости можно выделить |z-z|<R в котором сходимость равномерная.

— мажоранта

Сумма степенного ряда — ф-ция непрерывная аналитическая, интегрируема почленно по любому пути лежащему внутри круга |z-z|,дифференцируема почленно любое количество раз(при этом радиус сходимости остается тот же)каждый степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.

C =

Ряд Тейлора.

R=(r,Г)

Теорема. Пусть аналитическая в односвязной обл с границей Г и r-вн точка обл.

Тогда в круге |r-r|<R ф-ция (r) разлагается в степенной ряд (r)=,

Который я172.31.12.191вляется рядом Тейлора для .

Если z0 = 0, то ряд МакЛорена.

Все основные разложения эл. фун-й справедливы и здесь.

44. Ряд Лорана.

Опр.: Рядом Лорана с центром в т. z0 называется

1.  0 < r <R

2.  r = 0 0 < |z-z0| <R

Круг с выколотым центром

Если главная часть отсутствует, то центр круга не выполняется

3.  r > R

Æ

В кольце , где сходимость ряда Лорана равномерная Þ

Сумма сходящегося ряда Лорана есть функция аналитическая в

открытом кольце. Поэтому ряд Лорана можно интегрировать поч-

ленно по любому пути, расположенному в кольце и диферинциру-

емому почленно любое число раз.

Теорема:

— аналитическая в однозначно представлена в этом

кольце рядом Лорана

— однократно пробегаемая и расположенная строго в кольце

Доказательство

Проведём ещё 2 окружности

По интегральной формуле Коши:

z – вн. точка внутри кольца.

1)

Ряд сходится равномерно по z на окружности Г1, поэтому его можно интегрировать почленно:

2)

Сходится равномерно по z на окружности Г2