Ряд лорана
R=
R=
На границе может быть точка, в которой ряд сх и расх
Внутри круга сходимости можно выделить |z-z|<R в котором сходимость равномерная.
— мажоранта
Сумма степенного ряда — ф-ция непрерывная аналитическая, интегрируема почленно по любому пути лежащему внутри круга |z-z|,дифференцируема почленно любое количество раз(при этом радиус сходимости остается тот же)каждый степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.
C =
Ряд Тейлора.
R=(r,Г)
Теорема. Пусть аналитическая в односвязной обл с границей Г и r-вн точка обл.
Тогда в круге |r-r|<R ф-ция (r) разлагается в степенной ряд (r)=,
Который я172.31.12.191вляется рядом Тейлора для .
Если z0 = 0, то ряд МакЛорена.
Все основные разложения эл. фун-й справедливы и здесь.
44. Ряд Лорана.
Опр.: Рядом Лорана с центром в т. z0 называется
1. 0 < r <R
2. r = 0 0 < |z-z0| <R
Круг с выколотым центром
Если главная часть отсутствует, то центр круга не выполняется
3. r > R
Æ
В кольце , где сходимость ряда Лорана равномерная Þ
Сумма сходящегося ряда Лорана есть функция аналитическая в
открытом кольце. Поэтому ряд Лорана можно интегрировать поч-
ленно по любому пути, расположенному в кольце и диферинциру-
емому почленно любое число раз.
Теорема:
— аналитическая в однозначно представлена в этом
кольце рядом Лорана
— однократно пробегаемая и расположенная строго в кольце
Доказательство
Проведём ещё 2 окружности
По интегральной формуле Коши:
z – вн. точка внутри кольца.
1)
Ряд сходится равномерно по z на окружности Г1, поэтому его можно интегрировать почленно:
2)
Сходится равномерно по z на окружности Г2