Решить систему методом обратной матрицы

Обозначим через матрицу коэффициентов при неизвестных, через и – матрицы-столбцы переменных и правой части.

; ; ; .

Систему уравнений можно представить в матричной форме, она примет такой вид:

.

Умножим это равенство на обратную матрицу

, ,

Мы получили матричную запись решения системы линейных уравнений, из которой можно заключить следующее: чтобы квадратную систему линейных уравнений решить методом обратной матрицы, необходимо найти обратную матрицу и умножить ее “слева” на матрицу-столбец .

Пример 9. Решить систему методом обратной матрицы

.

Ранее мы нашли обратную для матрицы – в примере 8.

, , .

Проверка показывает, что система решена верно.

2.4. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений. Он заключается в приведении системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных и реализуется в несколько этапов:

I этап – выбирается первое ведущее уравнение, содержащее , и с его помощью из всех остальных уравнений исключается .

II этап – первое ведущее уравнение остается неизменным; выбирается второе ведущее уравнение из всех оставшихся и с его помощью исключается неизвестная ;

III этап – первое и второе ведущие уравнения остаются неизменными. Выбирается третье ведущее и с его помощью исключается и т. д.

Когда система приведена к треугольному виду, то, двигаясь в обратном порядке, находят значения неизвестных величин.

Пример 10. Решить систему методом Гаусса.

В качестве первого ведущего выбираем второе уравнение, т. к. у него первый коэффициент равен единице.

І этап

ІI этап

Из третьего уравнения определяем: ; из второго: , , ; из первого: . Таким образом, .

Замечание. Очень удобной модификацией метода Гаусса является правило прямоугольника, которое тоже реализуется поэтапно.

Пример 11. Рассмотрим систему и решим ее модифицированным методом Гаусса.

Идея подхода прежняя – расширенная матрица приводится к треугольному виду. Она составляется с участием правой части системы и контрольного столбца :