Учебные материалы по математике | Решить систему методом обратной матрицы | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Решить систему методом обратной матрицы


Обозначим через матрицу коэффициентов при неизвестных, через и – матрицы-столбцы переменных и правой части.

; ; ; .

Систему уравнений можно представить в матричной форме, она примет такой вид:

.

Умножим это равенство на обратную матрицу

, ,

Мы получили матричную запись решения системы линейных уравнений, из которой можно заключить следующее: чтобы квадратную систему линейных уравнений решить методом обратной матрицы, необходимо найти обратную матрицу и умножить ее “слева” на матрицу-столбец .

Пример 9. Решить систему методом обратной матрицы

.

Ранее мы нашли обратную для матрицы – в примере 8.

, , .

Проверка показывает, что система решена верно.

2.4. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений. Он заключается в приведении системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных и реализуется в несколько этапов:

I этап – выбирается первое ведущее уравнение, содержащее , и с его помощью из всех остальных уравнений исключается .

II этап – первое ведущее уравнение остается неизменным; выбирается второе ведущее уравнение из всех оставшихся и с его помощью исключается неизвестная ;

III этап – первое и второе ведущие уравнения остаются неизменными. Выбирается третье ведущее и с его помощью исключается и т. д.

Когда система приведена к треугольному виду, то, двигаясь в обратном порядке, находят значения неизвестных величин.

Пример 10. Решить систему методом Гаусса.

В качестве первого ведущего выбираем второе уравнение, т. к. у него первый коэффициент равен единице.

І этап

ІI этап

Из третьего уравнения определяем: ; из второго: , , ; из первого: . Таким образом, .

Замечание. Очень удобной модификацией метода Гаусса является правило прямоугольника, которое тоже реализуется поэтапно.

Пример 11. Рассмотрим систему и решим ее модифицированным методом Гаусса.

Идея подхода прежняя – расширенная матрица приводится к треугольному виду. Она составляется с участием правой части системы и контрольного столбца :

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод