Решение задач по тфкп

;

; ;

;  .

=

.

Ряд сходится для любого .

Задача 26. Разложить в ряд Тейлора дробь по степеням .

Решение

Для разложения функции в ряд можно воспользоваться готовым разложением (39):

Преобразуют знаменатель:

.

Окончательно получают

==.

Ряд сходится при

Задача 27. Разложить в ряд по степеням  функцию

.

Решение

Для упрощения вычислений вводят новую переменную , преобразуют функцию:

.

Используют готовое разложение (36):

=, где .

.

Так как , .

Разложение справедливо при ограничениях или в области .

Задача 28. Разложить в ряд функцию в окрестности точки и определить область сходимости полученного ряда.

Решение

Дано . Ряд раскладывают по степеням , т. е. . Исходную функцию раскладывают на простейшие дроби:

.

Для разложения по степеням вводят замену или и преобразуют дроби под «готовые» разложения по формулам (38) и (39):

,

при условии, что или .

Возвращаются к исходной переменной:

.

область сходимости полученного ряда (формально это круг с центром в точке и радиусом сходимости до ближайшей особой точки).

Задача 29. Разложить в ряд по степеням функции:

1) ;

2) .

Решение

1) Правильную дробь раскладывают на элементарные дроби, предварительно разложив знаменатель на множители:

,

.

Коэффициенты и находят по известному алгоритму из тождества