Решение задач по тфкп
;
;
;
;
.
=
.
Ряд сходится для любого
.
Задача 26. Разложить в ряд Тейлора дробь по степеням
.
Решение
Для разложения функции в ряд можно воспользоваться готовым разложением (39):
Преобразуют знаменатель:
.
Окончательно получают
==
.
Ряд сходится при
Задача 27. Разложить в ряд по степеням функцию
.
Решение
Для упрощения вычислений вводят новую переменную , преобразуют функцию:
.
Используют готовое разложение (36):
=
, где
.
.
Так как ,
.
Разложение справедливо при ограничениях или в области
.
Задача 28. Разложить в ряд функцию в окрестности точки
и определить область сходимости полученного ряда.
Решение
Дано . Ряд раскладывают по степеням
, т. е.
. Исходную функцию раскладывают на простейшие дроби:
.
Для разложения по степеням вводят замену
или
и преобразуют дроби под «готовые» разложения по формулам (38) и (39):
,
при условии, что или
.
Возвращаются к исходной переменной:
.
область сходимости полученного ряда (формально это круг с центром в точке
и радиусом сходимости до ближайшей особой точки).
Задача 29. Разложить в ряд по степеням функции:
1) ;
2) .
Решение
1) Правильную дробь раскладывают на элементарные дроби, предварительно разложив знаменатель на множители:
,
.
Коэффициенты и
находят по известному алгоритму из тождества