Решение систем линейных уравнений методом гаусса

Ответ: -144

Задание 1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) состоит в следующем: систему линейных уравнений приводит к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок ( обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

·  Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число;

·  Сложение и вычитание уравнений;

·  Перестановку уравнений системы;

·  Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Пример 1: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение:

Переставим третье уравнение на место первого:

Запишем расширенную матрицу коэффициентов системы:

Чтобы в 1-м столбце получилось, умножим 1-ю строку сначала на (-3), а затем на (-2) и сложим результаты со 2-й и с 3-ей строками соответственно:

Разделим 2-ю строку на 8, полученные результаты умножим на (-3) и разложим с 3-ей строкой:

Завершён прямой ход. Запишем новую эквивалентную

систему уравнений, которой соответствует расширенная треугольная матрица:

Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок находим неизвестные:

, z =: ;

y- , y= —

x-2y+2z=3 , x= 2*2-2*3+3=1.

Ответ: (1;2;3)

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение:

,

переходим от треугольной матрицы к системе уравнений:

.

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво — оно привело к неверному равенству 0=-1, следовательно, данная система уравнений несовместна.

Ответ: решений нет.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение:

Преобразуем расширенную матрицу системы (дл удобства вычислений берём в качестве первой строки коэффициенты 2-го уравнения, у которого коэффициенты при равен 1):

т. е. ранг матрицы системы r=2.

Оставляем в левой части переменные и , которые берём за основные (т. к. определитель из коэффициентов при них отличен от нуля, т. е. = -5 ≠ 0 ). Остальные неосновные переменные и переносим в правые части уравнений:

,

откуда ; .

Задавая неосновными переменным произвольные значения , ,

найдем бесконечное множество решений системы.

Ответ: ( ; ; ; )

Методические указания и пример типового расчёта

расчётно-графического задания по теме

«Применение методов векторной алгебры при решении

геометрических задач»

1. Для нахождения длин рёбер пирамиды, нужно задать на рёбрах вектора. Тогда длина ребра равна длине вектора. Определите координаты векторов, для этого из кoординат конца вектора вычесть координаты его начала:

Длина вектора =(x2 — x1;y2-y1;z2-z1) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат: =.

2. Угол между ребрами и можно рассматривать как угол между векторами и

Тогда косинус угла формуле ,

скалярное произведение двух векторов

=(x1;y1;z1) и =(x2;y2;z2) находится по формуле ∙=∙+.

3. Площадь грани равна площади ∆:

S∆A1A2A3 =, где ).

Тогда, S∆A1A2A3=, то есть площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов и .

Векторное произведение , где ), =(),

находится с помощью определителя третьего порядка:

.

4. Уравнение грани составим, применив уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой: ( , тогда

5.Чтобы составить уравнении высоты ,опущенной из вершины на грань ,нужно применить каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку ) с заданным направляющим вектором =(l;m;n):

=(I,m,n)

За напрвляющий вектор искомой прямой (то есть, вектор, параллельный этой прямой) можно принять нормальный вектор грани на которую опущена высота (т. к. все перпендикуляры к данной плоскости параллельны между собой).

Координаты параллельного вектора =(A;B;C) легко определить из уравнения плоскости Ах+Ву+Сz+D=0. Значит, l=A, m=B, n=C.

6. Расстояние от вершины до грани определить по формуле расстояния от точки до плоскости:

d= , где () координаты точки;

7. Объем пирамиды равен модуля смешанного произведением трех векторов, выходящих из одной вершины, на которых построена эта пирамида:

=

Смешанное произведение трех векторов =(), =(),

= () есть число, которое можно найти с помощью определителя третьего порядка:

== .

Пример: Дана треугольная пирамида с вершинами ((2;-4; 4), (-1;-5;5).

Найти: 1) длину ребер; 2) угол между ребрами и ; 3)площадь грани ; 4) уравнение грани ; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 6) расстояние от вершины до грани ; 7) объем пирамиды. Сделать чертеж.

Решение:

Найдем координаты векторов по формуле =():

=(-3-6;2-5;1-(-5))=(-9;-3;6), =(2-6;-4-5;4-(-5))=(-4;-9;9),

=(-1-6;-5-5;5-(-5))=(-7;-10;10), =(2-(-3);-4-2;4-1)=(5;-6;3),

=(-1-(-3);-5-2;5-1)=(2;-7;4), =(-1-2;-5-(-4)=(-3;-1;1).

Тогда длины ребер пирамиды можно найти как длины соответствующих векторов по формуле =:

==11,2 (ед. дл),

==

==

==

==

==

2. Угол между ребрами найдем по формуле косинуса угла между двумя векторами:

)=,

где =(-9;-3;6), =(-7;-10;10), =11,2 (ед. дл), =15,8 ед. дл.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат: ∙=-9∙(-7)+(-3)∙(-10)+6∙10=63+30+60=153.

=, отсюда arccos0,865.

3. Площадь грани равна площади ∆которую можно найти с помощью векторного произведения векторов =(-9;-3;6) и =(-4;-9;9).

Подставим координаты этих векторов в формулу

, тогда ==

= ××+××+××=

= (-27+54)-(-81+24)+(81-12)=27+57+69=(27;57;69).

Тогда модуль векторного произведения равен

=

Площадь треугольника:==93,5=46,7 (кв. ед. дл.)

4. Уравнение грани составим, подставив координаты трех точек

(-3;2;1), (2;-4;4),(-1;-5;5) в уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

=0, тогда имеем: =0, или

=0,

разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки:

(x+3)— (y-2) +(z-1)=0,

(x+3)(-24+21)-(y-2)(20-6)+(z-1)(-35+12)=0,

-3(x+3)-14(y-2)-23(z-1)=0,

-3x-9-14y+28-23z+23=0,

-3x-14y-23z+42=0 , умножим обе части уравнения на (-1), получим уравнение

3x+14y+23z-42=0 — это общее уравнение грани .

5. Составим уравнение высоты М, опущенной из вершины на грань . Направляющим вектором этой прямой М можно считать нормальный вектор плоскости , которая задана общим уравнением

3x+14y+23z-42=0 . Значит, координаты её нормального вектора =(3;14;23). Итак, направляющий вектор высоты М имеет координаты =(l;m;n)=(3;14;23).

Подставим координаты точки и координаты напрвляющего вектора =(l;m;n)=(3;14;23) в каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным направляющим вектором: ==.

Тогда, каноническое уравнение высоты:

==

6. Найдем расстояние от вершины (6;5;-5) до грани заданной общим уравнением 3x+14y+23z-42=0, применив формулу расстояния от точки до плоскости:

d=, где Ax+By+Cz+D=0 общее уравнение плоскости; ( координаты точки. Тогда,

d== 2,55( ед. дл.)

Это расстояние можно найти и другим способом.

Уравнение плоскости : 3x+14y+23z-42=0;

Уравнение высоты , опущенной из точки на грань :

.

Координаты точки , являющейся пересечением грани с перпендикуляром, опущенным на неё из вершины , найдем решив совместно уравнение грани и уравнение прямой:

Перейдем от канонического уравнения прямой к параметрическому уравнению :

, где числовой параметр. Отсюда имеем:

, или .

Подставим эти выражения в уравнение грани :

3(3t+6)+14(14t+5)+23(23t-5)-42=0, найдем отсюда t:

9t+18t+196t+70+529t-115-42=0,

734t-69=0, 734t=69 , t=.

Подставим найденное значение параметра t = в параметрическое уравнение прямой :

Итак, точка M имеет координаты

М(6,282;6,316;-2,838).

Расстояние от (6;5;-5) до точки М:

= (

==

7. Объем пирамиды : V=

Найдем смешанное произведение трех векторов:

=(-9;-3;6), =(-4;-9;9), =(-7;-10;10) по формуле

=. Тогда,

==3 = -3(-40+63)=

= -69.

(При упрощении определителя к элементам второго столбца прибавили соответствующие элементы третьего столбца)

Значит, V==.