Решение систем линейных дифференциальных уравнений
=
(x,
)(6.1)
Система ДУ 1-го порядка решают относительно производных, то есть система вида :
=
(x,
)
=
(x,
)
Число уравнений= числу искомых функций
Часто система уравнения и система уравнения высшего порядка можно привести к нормальным системам вида (6.1)
Уравнение 3- го порядка
y’’’ = f ( x , y , y’ , y’’)
Путем замены :y’ = py’’ = q
Решение системы (6.1) называется совокупностью из n функций : удовлетворяет каждому уравнению из этой системы. Вначале условия для (6.1) имеют вид:
(
) =
(
) =
….. ,
(
) =
(6.2)
Задача Коши для (6.1) :
Нужно найти решение системы (6.1) удовлетворяющее условию (6.2)
Общее решение (6.1) имеет вид :
=
(x,
)
=
(x,
)
Решение получившиеся из общего из конкретного значения const …
называются частными решениями системы (6.1)
Линейной однородной системой с постоянными коэффициентами называется система дифференциальных уравнений вида:
где коэффициенты — постоянные, — искомые функции от t.
Систему (11) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения где
Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим еще 1 метод интегрирования системы (6.1) в случае когда она представлена системой линейного ДУ с носителем коэффициента, то есть :
=
=
При y=3
=
=
=
j (i, j=
) = const
= α
= β
= γ
(6.6)
α ,β ,γ, k – const , который надо подобрать так, чтобы функция (6.6) удовлетворяла (6.5)
Подставим (6.6) в (6.5)
αk = α +
β +
γ
βk = α +
β +
γ
γk = α +
β +
γ
α (-k) +
β +
γ =0
α+ β(
-k) +
γ =0
α +
β + (
-k) γ=0
=0
Уравнение (6.8) — характеристическое уравнение (6.5)
Раскрыв определитель получим уравнение 3 степени относительно к :
Возможны 3 случая :
1 случай :
корни характеристического уравнения действительны и различны
,
Є R
(i=
)
Один из коэффициентов может считаться = 1
Для корня системы частное решение :
:
=
*
=
=
:
=
*
=
=
:
=
*
=
=
Можно показать, что эти функции создают фундаментальную систему :
=
+
+
=
+
+
=
+
+
2 Случай :
Корни характеристического уравнения различные и среди них есть комплексные
= a+ ib
= a-ib
R
+
+
x +
=0
Вид частного решения в этой системе определяется также как и в случае 1
Замечание : вместо полученного частного решения можно взять их линейные комбинации
cosbx,
sin bx
Корень a- ib не дает новых решений
Характеристическое уравнение имеет корень k ;
Кратность m (m =2,3)
а) m= 2 = (A +
)
= (C +
)
= (E +
)
m=3
= (A +
)
= (D +
)
= (G +
)
Это решение зависит от ’m’ производной постоянныхA, B, C ,…, N определяемых методом неопределенного коэффициента
Выразить все коэффициенты через ’m’полагается один из них равен1, aостальные =0
Получится ’m’ линейно независимое частное решение системы (6.5)
Интегрирование линейных уравнений при помощи степенных рядов
Пусть дано уравнение :
y’’ + p(x)y’ +q(x)y=0 (9.1)