Решение систем линейных дифференциальных уравнений

= (x, )(6.1)

Система ДУ 1-го порядка решают относительно производных, то есть система вида :

= (x, )

= (x, )

Число уравнений= числу искомых функций

Часто система уравнения и система уравнения высшего порядка можно привести к нормальным системам вида (6.1)

Уравнение 3- го порядка

y’’’ = f ( x , y , y’ , y’’)

Путем замены :y’ = py’’ = q

Решение системы (6.1) называется совокупностью из n функций : удовлетворяет каждому уравнению из этой системы. Вначале условия для (6.1) имеют вид:

() = () = ….. , () = (6.2)

Задача Коши для (6.1) :

Нужно найти решение системы (6.1) удовлетворяющее условию (6.2)

Общее решение (6.1) имеет вид :

= (x, )

= (x, )

Решение получившиеся из общего из конкретного значения const … называются частными решениями системы (6.1)

Линейной однородной системой с постоянными коэффициентами называется система дифференциальных уравнений вида:

где коэффициенты — постоянные, — искомые функции от t.

Систему (11) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения где

Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим еще 1 метод интегрирования системы (6.1) в случае когда она представлена системой линейного ДУ с носителем коэффициента, то есть :

=

=

При y=3

=

=

=

j (i, j= ) = const

= α= β = γ (6.6)

α ,β ,γ, k – const , который надо подобрать так, чтобы функция (6.6) удовлетворяла (6.5)

Подставим (6.6) в (6.5)

αk = α + β + γ

βk = α + β + γ

γk = α + β + γ

α (-k) + β +γ =0

α+ β(-k) + γ =0

α + β + (-k) γ=0

=0

Уравнение (6.8) — характеристическое уравнение (6.5)

Раскрыв определитель получим уравнение 3 степени относительно к :

Возможны 3 случая :

1  случай :

корни характеристического уравнения действительны и различны

, Є R

(i= )

Один из коэффициентов может считаться = 1

Для корня системы частное решение :

: = * =

=

: = * =

=

: = * =

=

Можно показать, что эти функции создают фундаментальную систему :

= + +

= + +

= + +

2  Случай :

Корни характеристического уравнения различные и среди них есть комплексные

= a+ ib

= a-ib

R

+ + x + =0

Вид частного решения в этой системе определяется также как и в случае 1

Замечание : вместо полученного частного решения можно взять их линейные комбинации

cosbx, sin bx

Корень a- ib не дает новых решений

Характеристическое уравнение имеет корень k ;

Кратность m (m =2,3)

а) m= 2 = (A + )

= (C +) = (E +)

m=3 = (A + )

= (D + )

= (G + )

Это решение зависит от ’m’ производной постоянныхA, B, C ,…, N определяемых методом неопределенного коэффициента

Выразить все коэффициенты через ’m’полагается один из них равен1, aостальные =0

Получится ’m’ линейно независимое частное решение системы (6.5)

Интегрирование линейных уравнений при помощи степенных рядов

Пусть дано уравнение :

y’’ + p(x)y’ +q(x)y=0 (9.1)