Решение линейных однородных дифференциальных уравнений

Эти функции линейно независимые и образуют фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих функций является общим решением уравнения (1): (4)

21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений для случая комплексных и кратных корней.

Корни действительные кратные: Пусть — корень уравнения кратности R, тогда решениями Д. У. является k – линейно независимых функций: ;

;

;

……………..

;

Общее уравнение:

(1)

Корни комплексные различные: среди корней есть пара комплексных сопряженных, т. е. . Этой паре соответствуют две действительные функции: ;

;

Общее решение однородного уравнения для комплексных корней:

(2)

Корни комплексные кратные: Пусть корни кратности k, тогда общее решение Д. У. имеет вид:

(3)

23.Нахождение частного решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по специальному виду правой части.

Нахождение частного решения по специальному виду правой части уравнения функции f(x): Вид частных решений запишем в таблицу:

– многочлен степени m с неопределенными коэффициентами; ; ; ; …. A,B,C,D – неопределенные коэффициенты, которые нужно найти.

Замечание: Если функция f(x) содержит несколько слагаемых, каждая из которых приложит одному из приведенных в таблице видов, то частное решение ищется в соответствии с принципом суперпозиции, т. е.:

24.Знакоположительные числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.

Числовые ряды – рассмотрим числовую последовательность: un – числа.

Составим суммы: ;

;

…………………..

;

Выражение: – называется числовым рядом (1)

Числа — называются членами ряда. Если они положительны, то ряд называется знакоположительным.

— называется n-ый член ряда или общий член ряда.

— частичные суммы.

Числовой ряд (1) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм сходится к некоторому числу S, которое называется суммой ряда, т. е. ряд сходится если существует предел: . Если предел не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся. Ряд может быть задан перечислением нескольких членов или в виде формулы общего члена ряда.