Решение линейных однородных дифференциальных уравнений
Эти функции линейно независимые и образуют фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих функций является общим решением уравнения (1): (4)
21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений для случая комплексных и кратных корней.
Корни действительные кратные: Пусть — корень уравнения
кратности R, тогда решениями Д. У.
является k – линейно независимых функций:
;
;
;
……………..
;
Общее уравнение:
(1)
Корни комплексные различные: среди корней есть пара комплексных сопряженных, т. е. . Этой паре соответствуют две действительные функции:
;
;
Общее решение однородного уравнения для комплексных корней:
(2)
Корни комплексные кратные: Пусть корни кратности k, тогда общее решение Д. У. имеет вид:
(3)
23.Нахождение частного решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по специальному виду правой части.
Нахождение частного решения по специальному виду правой части уравнения функции f(x): Вид частных решений запишем в таблицу:
Правая часть Д. У. |
Корни характеристического уравнения |
Виды частных решений |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
I |
|
1.Число ноль не является корнем характеристического уравнения |
|
2.Число ноль является корнем характеристического уравнения кратности k |
|
||
II |
|
1.Число α не является корнем характеристического уравнения |
|
2.Число α есть корень характеристического уравнения кратности k |
|
||
III |
|
1.Число |
s=max(m, n) |
2.Число |
s=max(m, n) |
||
IV |
|
1.Число |
|
2.Число |
s=max(m, n) |
– многочлен степени m с неопределенными коэффициентами;
;
;
;
…. A,B,C,D – неопределенные коэффициенты, которые нужно найти.
Замечание: Если функция f(x) содержит несколько слагаемых, каждая из которых приложит одному из приведенных в таблице видов, то частное решение ищется в соответствии с принципом суперпозиции, т. е.:
24.Знакоположительные числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.
Числовые ряды – рассмотрим числовую последовательность: un – числа.
Составим суммы: ;
;
…………………..
;
Выражение: – называется числовым рядом (1)
Числа — называются членами ряда. Если они положительны, то ряд называется знакоположительным.
— называется n-ый член ряда или общий член ряда.
— частичные суммы.
Числовой ряд (1) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм сходится к некоторому числу S, которое называется суммой ряда, т. е. ряд сходится если существует предел: . Если предел не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся. Ряд может быть задан перечислением нескольких членов или в виде формулы общего члена ряда.
Узнать стоимость за 15 минут
Распродажа дипломных
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Подпишись на наш паблик в ВК
Нужна работа?
Заказать контрольную работу у наших партнеров