Регрессио́нный (линейный) анализ

48. При изучении корреляций стараются установить, существует ли какая-то связь между двумя показателями в одной выборке (например, между ростом и весом детей или между уровнем IQ и школьной успеваемостью) либо между двумя различными выборками (например, при сравнении пар близнецов), и если эта связь существует, то сопровождается ли увеличение одного показателя возрастанием (положительная корреляция) или уменьшением (отрицательная корреляция) другого.

Иными словами, корреляционный анализ помогает установить, можно ли предсказывать возможные значения одного показателя, зная величину другого. Коэффициент корреляции — это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до -1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной — минус 1. На графике этому соответствует прямая линия, проходящая через точки пересечения значений каждой пары данных:

49. Регрессио́нный (линейный) анализ — статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X1,X2,…,Xp. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения.

Строго регрессионную зависимость можно определить следующим образом. Пусть Y, X1,X2,…,Xp — случайные величины с заданным совместным распределением вероятностей. Если для каждого набора значений X1 = x1,X2 = x2,…,Xp = xp определено условное математическое ожидание

y(x1,x2,…,xp) = E(Y | X1 = x1,X2 = x2,…,Xp = xp) (уравнение линейной регрессии в общем виде),

то функция y(x1,x2,…,xp) называется регрессией величины Y по величинам X1,X2,…,Xp, а её график — линией регрессии Y по X1,X2,…,Xp, или уравнением регрессии.

Зависимость Y от X1,X2,…,Xp проявляется в изменении средних значений Y при изменении X1,X2,…,Xp. Хотя при каждом фиксированном наборе значений X1 = x1,X2 = x2,…,Xp = xp величина Y остаётся случайной величиной с определённым рассеянием.

Для выяснения вопроса, насколько точно регрессионный анализ оценивает изменение Y при изменении X1,X2,…,Xp, используется средняя величина дисперсии Y при разных наборах значений X1,X2,…,Xp (фактически речь идет о мере рассеяния зависимой переменной вокруг линии регрессии).

27 Нормальный закон распределения случайных величин

Нормальное распределение, также называемое гауссовским распределением или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, могущих вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей).Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

26 Показательный закон распределения случайных величин

Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ >0, если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности.

28.Многомерная случайная величина

При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности иногда приходится использовать две, три и более случайных величин. Например, точка попадания снаряда определяется не одной, а двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой. При различных измерениях очень часто имеем дело с двумя или тремя случайными величинами.

Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к понятию системы случайных величин. Условимся систему нескольких случайных величин X, Y,…..,W обозначать (X, Y,…..,W)

Такая система называется также многомерной случайной величиной. При изучении системы случайных величин недостаточно изучить отдельно случайные величины, составляющие систему, а необходимо учитывать связи или зависимости между этими величинами. При рассмотрении системы случайных величин удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы.