Работа содержит материал пяти лекционных занятий и четырех тем практических занятий по ТФКП. Данный раздел математики входит в государственный стандарт почти всех технических специальностей.

Аппарат ТФКП применяется при решении задач в гидро — и аэродинамике, теории упругости, радиотехнике и др.

Авторы изложили материал в краткой, но доступной для студентов форме, иллюстрируя его необходимыми примерами. В работе рассмотрены основные разделы ТФКП, которые необходимы студентам при выполнении курсовых и дипломных работ.

В практической части приведены примеры с решениями для аудиторных занятий, а также большой набор задач для самостоятельной и внеаудиторной работы студентов.

В имеющихся учебниках отсутствует сжатое изложение данного раздела. Авторы с успехом справились с этой задачей.

Работа будет полезна не только студентам, но и преподавателям.

Считаю, что данная работа соответствует современным методическим требованиям и должна быть опубликована.

Огнёв И. А. – к. ф.н., доцент каф. математики.

Предисловие.

Содержание этой работы основано на материале курса «Теория функций комплексного переменного», который читается авторами в течение ряда лет студентам технических специальностей ИрГТУ. Курс претерпел кардинальные изменения в связи с уменьшением часов отводимых на специальные разделы математики. Тем не менее, необходимо за несколько лекций ознакомить студентов с основами теории и научить их пользоваться аппаратом функций комплексного переменного для решения конкретных задач, которые возникают в гидро — и аэродинамике, теории упругости, электродинамике, радиотехнике.

«Образование – это то,

что остается, когда все

выученное забывается».

А. Лауэ.

Лекция 1. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ.

Понятие комплексного числа возникло в первую очередь в результате потребностей автоматизации вычислений. Даже простейшие алгебраические операции над действительными числами выводят за пределы области действительных чисел. Так, например, решение простейшего уравнения х2+1=0 не может быть разрешено в действительных числах, так как .

Тем самым надо или отказаться от автоматического применения установленных методов решения и каждый раз проводить подробное исследование возможности их применения, или расширить область действительных чисел с тем, чтобы основные алгебраические операции всегда были выполнимы. Таким расширением области действительных чисел являются комплексные числа.

I.  АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Определение 1. Комплексным числом называется двучлен вида

(1)

где: x и y – действительные числа, i – const, такое, что

,

— действительная часть комплексного числа.

— мнимая часть комплексного числа.

Два комплексных числа называются равными, когда равны их действительные и мнимые части.

Если , то при .

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу .

Сумма комплексных чисел есть комплексное число:

.

Произведение комплексных чисел есть комплексное число:

.

Отношением комплексных чисел является комплексное число:

II. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Каждому комплексному числу поставим в соответствие точку с координатами (x,y) на плоскости R2. Это соответствие взаимно однозначное и называется геометрической интерпретацией комплексного числа.

Множество точек образует ком­плексную плоскость, кото­рую будем обозначать (z). Точки z — это концы векторов, проведен­ных из начала координат.

Как и вектор, комплексное число можно определить с помощью угла и длины вектора, , т. е., аргумента и модуля Рис.1 Комплексная плоскость. (радиуса).

с точностью до ,

Так как

, (2)

то

; ;

где – главное значение аргумента z, удовлетворяющее условиям

или .

Из рисунка 1 следует, что , причем при

Для значения аргумент не определен.

Используя формулы (2), запишем

,

— тригонометрическая форма комплексного числа. (3)

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Даны два комплексных числа

.

1)  Умножение

,

т. е.

Если имеется n одинаковых сомножителей , то

— формула Муавра. (4)

2) Деление

То есть

3) Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.

Определение 2. Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется такое число , что (5)

Обозначим

возведем в n-ю степень по формуле Муавра.

.

Комплексные числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому

(6)

Пример 1. Вычислить

III.  ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Любое комплексное число можно записать в показательной форме

(7)

Эта форма комплексного числа получается, если применить формулу Эйлера

(8)

В показательной форме удобно производить действия:

Пример 2. Записать в показательной форме число

,

.

Лекция 2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ.

Определение 3. — окрестностью точки z0 называется множество точек z комплексной плоскости таких, что , где — заданное число.

Условились обозначать — — окрестность точки z0.

— окрестность есть внутренность круга с радиусом и центром в точке z0. Действительно, если , то

,

т. е.

— это окружность.

Рис.2 ε – окрестность точки z0.

Определение 4. Множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию , называют R-окрестностью, , окрестностью бесконечно удаленной точки.

Бесконечно удаленную точку z обозначают через , а комплексную плоскость вместе с точкой называют расширенной плоскостью.

Определение 5. Точка z0 называется внутренней точкой множества Е, если — окрестность точки z0, что

Рис.3 Внутренние точки множества.

Определение 6. Точка z1 называется граничной точкой множества Е, если в любой окрестности этой точки имеются точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие Е.

Рис.4 Граничные точки множества.

Определение 7. Областью D в комплексной плоскости понимается множество точек Е такое, что:

а) каждая точка этого множества является внутренней;

б) любые две точки этого множества можно соединить ломаной с конечным числом звеньев, целиком лежащих в множестве Е.

Область D вместе с ее границей L называется замкнутой областью и обозначается .

Пусть вещественные непрерывные функции переменной , тогда уравнение

(9)

дает параметрическое представление непрерывной кривой L на комплексной плоскости.

Определение 8. Кривая L в плоскости (z) называется гладкой, если определяющие ее функции непрерывны вместе со своими производными во всех точках этой кривой.

Определение 9. Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кусков, называется непрерывной кусочно-гладкой.

Определение 10. Область D называется односвязной, если ее граница состоит из одной непрерывной (связной) линии L, и многосвязной, если из конечного числа линий.

Рис.14 Односвязная область Рис.15 Многосвязная область

С помощью дополнительных разрезов многосвязную область можно превратить в односвязную (рис.7).

Рис.7

Пример 1. Построить на комплексной плоскости линию

Решение.

Рис.8

Пример 2. Построить на комплексной плоскости область, заданную условиями:

Решение.

,

т. е.

Рис.9

Область — заштрихованный прямоугольник, область – односвязная.

Определение функции комплексного переменного.

Рассмотрим две комплексные плоскости (z) и (w) соответственно чисел и

Рис.10

Определение. Величина w называется функцией комплексного переменного z в области D, если задан закон (правило), согласно которому, каждому значению z, взятому из D ставится в соответствие одно или несколько значений w из G.

Обозначается , переменная z называется независимой или аргументом, w – зависимая переменная или функция.

Область D называется областью определения функции w, а G – областью изменения функции w.

Если каждому значению соответствует только одно значение , то функция , называется однозначной, а если несколько, то многозначной.

Пример. Найти уравнение линии в (w), на которую с помощью функции отобразится линия .

Решение. В плоскости (z) уравнение или .

Найдем уравнение биссектрисы

I и II координатных углов в плоскости

переменных u, v (w) на которую отобразится эта

биссектриса с помощью функции . Рис.11

Рис.11

или .

Рис.12

Итак, функция отображает биссектрису I и III координатных углов плоскости (z) в биссектрису II и IV координатных углов плоскости (w).

Предел и непрерывность функции.

Рассмотрим функцию , где , определенную в окрестности точки .

Определение. Число называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа , можно указать такое число , что для всех точек, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Записывается так:

, это равносильно

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и в самой точке и или

Из определений следует, что все теоремы о пределах и непрерывных функциях действительного переменного можно применить и для функции комплексного переменного.

Элементарные функции комплексного переменного.

1. линейная функция.

2. , n – целое – степенная функция.

3. , дробно-линейная функция.

4. — функция Жуковского.

5. — показательная функция.

Функция в отличие от функции действительного аргумента является периодической с периодом .

,

т. е. — период, т. к.

6. Логарифмическая функция — натуральный логарифм, рассматривается как обратная к показательной .

.

7. Тригонометрические функции.

Используя формулы Эйлера:

Для них верны формулы тригонометрии, имеют период

В отличие от тригонометрических функций действительного аргумента , могут быть >1.

Пример.

8. Обратные тригонометрические функции.

Эти функции многозначны, так как выражаются через логарифмы.

9. Гиперболические функции.

Гиперболические функции комплексного переменного имеют мнимый период для

Связь тригонометрических функций с гиперболическими.

т. е.

Пример. Записать в алгебраической форме .

Решение.

Лекция 3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

Пусть задана однозначная функция в области D комплексной плоскости (z).

Определение. Производной от функции в точке z называется

(1)

когда этот предел существует и любым образом стремится к нулю.

Функция называется дифференцируемой в точке z, если в этой точке существует .

Определение. Функция называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке области D и имеет в этой области непрерывную производную.

Теорема. Для того, чтобы функция была аналитической в области D, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке , функции и имели непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши — Римана:

Производная находится по формулам

.

Из определения производной функции , которое аналогично определению производной функции действительного аргумента, следует, что правила дифференцирования и свойства аналитических функций аналогичны правилам дифференцирования и свойствам функции действительного аргумента.

Если — аналитические,

то также аналитические.

1.

2.

3.

Имеют смысл и производные высших порядков а также таблица производных элементарных функций.

Пример. Доказать, что аналитическая во всей плоскости.

Решение.

Проверим условия Коши-Римана.

.

Вывод. Условия выполнены — аналитическая в плоскости (z).

Гармонические функции и их связь с аналитическими.

Определение. Функция называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа

Рассмотрим аналитическую функцию в области (z), тогда в этой области функции удовлетворяют условиям Коши – Римана

(1) (2)

Дифференцируем обе части равенства (1) по х, а (2) по y

и

так как смешанные производные равны, то приравниваем и получаем

а это значит, что действительная часть аналитической функции есть функция гармоническая. Аналогично, можно показать, что и мнимая часть аналитической функции также гармоническая. Их называют гармоническими сопряженными функциями.

Пример. Найти аналитическую функцию по известной ее действительной части , при условии .

Решение.

Используем условия Коши – Римана

— интегрируем по

.

С другой стороны

, найдем с.

.

Геометрический смысл модуля производной

Рассмотрим две комплексные плоскости (z) и (w) и, соответственно, области D(z) и G(w) .

Дадим геометрическое представление производной функции в точке , когда . Функция отобразит точку (z) в точку (w).

Рис.13

Кривую Г(z), функция отобразит в кривую Г1(w). По определению производной в точке это комплексное число. Запишем его в показательной форме

где (1).

Итак, или с точностью до бесконечно малых, имеем

, где расстояние между точками , а — расстояние между точками . Коэффициент указывает, в каком отношении в результате отображения изменяются линейные размеры, то есть .

Следовательно, величину естественно назвать коэффициентом искажения масштаба, причем, если K>1, т. е. , то коэффициент растяжения, если K<1, т. е. , то коэффициент сжатия в т. .

Вывод. Отображение, осуществляемое функцией , бесконечно малые круги (окрестности) преобразует в подобные же круги, сжатые или растянутые, т. е. обладают свойством постоянства.

Геометрический смысл аргумента производной.

Введем обозначения: — это углы секущих AB и A1B1 соответственно к осям Оx и Оu (рис.13);

углы касательных с осями ox и ou в точках к кривым Г и Г1;

,

Находим

Вывод. Аргумент производной геометрически представляет собой разность между углами, образованными касательными к кривым Г и Г1 в точках с осями соответственно ox и ou, т. е. — есть угол, на который поворачивается линия Г, проходящая через т. при отображении осуществляемом функцией .

Пример. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в т. при отображении .

Решение. Угол поворота , а коэффициент искажения масштаба в т. .

сжатие.

нет искажения.

Конформное отображение.

Пусть Г1 и Г2 – гладкие кривые, выходящие из точки (рис.14). Касательные к ним образуют углы соответственно . Образы этих кривых — кривые на плоскости (w), имеют касательные в точке w, образующие углы . Если то где угол между касательными к линиям Г1 и Г2, а — угол между линиями Г1 и Г2 и эти углы равны. Следовательно, при отображении, осуществляемом аналитической функцией , угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке, остается без изменения. Это свойство носит название консерватизма углов.

Рис.14

Определение. Отображение, обладающее свойством постоянства коэффициента растяжения и консерватизма углов, называется конформным отображением.

Таким образом, мы показали, что отображение, осуществляемое аналитической функции , является конформным во всех точках, где . Обратное утверждение также верно.

Пример. Каково отображение, осуществляемое функцией ?

Решение. Находим , во всех точках (z), следовательно, отображение — аналитическое и конформное во всей плоскости (z).

— растяжение в 2 раза,

поворота нет.

Лекция 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

I. Контурные интегралы.

Пусть задана функция — непрерывная в области D. Пусть Г – гладкая кривая в D.

Разобьем дугу АВ на части точками zK. В каждой части возьмем точку, соответствующую комплексному числу и образуем сумму

.

Рис.15.

Определение. Предел суммы (при стремлении к 0 длины наибольший из частных дуг ), называется контурным интегралом от функции вдоль дуги АВ и обозначается .

(1)

Так как , то интеграл (1) сводится к двум криволинейным интегралам от функций действительного аргумента.

Свойства интеграла от функции комплексного переменного.

Из определения интеграла от функции комплексного переменного ясно, что свойства интеграла (2) аналогичны свойствам криволинейного интеграла II рода по координатам

1) , где

Г+ и Г— — кривые, ориентированные в противоположных направлениях.

2) Если , то

3) Справедлива оценка интеграла

,

где ds – дифференциал длины дуги, т. е. это связь криволинейного интеграла II-го рода с криволинейным интегралом 1-го рода.

4) Имеет место формула замены переменной, если , где устанавливает связь между кривыми Г1 и Г2, то

5) Если кривая Г задана параметрически

то , a<t<b

Пример. Вычислить , где L – отрезок прямой соединяющей точки

Решение.

.

Теоремы Коши.

Теорема 1. Если функция аналитическая в односвязной области D, то интеграл от функции по любому кусочно-гладкому контуру Г не зависит от пути интегрирования, если же контур Г замкнут, то интеграл =0, т. е. .

Теорема 2. Если область D ограничена внешним контуром Г и внутренними контурами Г1 Г2…Гк, и — аналитическая, то

Рис.16.

Неопределенный интеграл.

Пусть в области D функция аналитическая. Интеграл от этой функции по кривой, соединяющей точки и z в силу теоремы Коши не зависит от вида кривой, при фиксированной интеграл является функцией z

Можно показать, что .

Определение. Функция , производная которой равна называется первообразной по отношению к функции .

Множество первообразных называется неопределенным интегралом от функции .

Справедливы все формулы интегрирования.

Формула Ньютона – Лейбница.

.

Пример. Вычислить

.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ.

Пусть функция аналитическая в односвязной замкнутой области D с кусочно-гладкой границей L, ориентируемой в положительном направлении, тогда имеет место формула Коши

(1)

или (2)

где z0 – любая точка внутри контура.

Формула (1) называется интегральной формулой Коши.

— интеграл Коши.

Пример. Вычислить , где L контур, содержащий в себе точку , и не содержащий .

Решение.

ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ.

Пусть любая кусочно-гладкая ориентированная кривая не обязательно замкнутая и — непрерывная функция, определенная вдоль , выражение

(1)

называется интегралом типа Коши, точка не лежит на контуре . Интеграл Коши является интегралом, зависящим от параметра , а интегралы, зависящие от параметра можно дифференцировать по этому параметру.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3)

Пример. Вычислить ;

Решение.

Лекция 5. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ.

1.  Числовые ряды.

Определение. Ряд

(1)

составленный из комплексных чисел , называется числовым рядом

(2)

Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если сумма его первых слагаемых стремится к конечному пределу

.

Из (2) следует, что все теоремы и свойства числовых рядов в действительной области имеют место и справедливы для числовых рядов в комплексной плоскости.

2.  Функциональные ряды.

Это ряды вида

, (1)

где функция комплексного переменного.

Определение. Степенным рядом называется ряд

(2)

или

(3)

Определение. Точки z, для которых степенной ряд сходится, называются точками сходимости, совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости. Для ряда (3) область сходимости .

Справедлива теорема Абеля и все формулы для определения радиуса сходимости системных рядов в комплексной области, также как и в действительной области.

3.  Ряд Тейлора.

Определение. Ряд вида , где коэффициенты

называется рядом Тейлора.

Теорема. Если функция аналитическая в круге то она однозначно представляется в нем рядом Тейлора, т. е.

,

Основные элементарные функции комплексного переменного в окрестности точки имеют такой же вид ряда Тейлора, что и функции действительного переменного.

Определение. Точка в окрестности которой функция может быть разложена в ряд Тейлора, называется правильной точкой функции . Если же функция в окрестности точки не может быть разложена в ряд Тейлора, то точка называется особой точкой функции .

4.  Ряд Лорана.

Рассмотрим два ряда

(5)

(6)

Теперь объединим (5) и (6).

(7)

Рис.17.

Определение. Ряд (7) называется рядом Лорана и записывается так

(8)

где коэффициенты

а Г – произвольная окружность с центром в т. , лежащая внутри кольца сходимости.

В формуле (8) ряд

называется главной (сингулярной) частью ряда Лорана, а ряд

называется правильной (регулярной) частью ряда Лорана.

Теорема. Если функция аналитическая в кольце , то в этом кольце она единственным образом представлена в виде ряда Лорана

, где

Лекция 6. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. ВЫЧЕТЫ.

Определение. Точка в которой функция неаналитична, называется особой. Если в достаточной близости к особой точке нет других особых точек, то особая точка называется изолированной особой точкой.

Если — изолированная особая точка, то существует окрестность – кольцо в котором функция аналитична, а значит разложима в ряд Лорана, т. е.

.

При этом могут представиться 3 случая.

1). Отсутствует главная часть ряда Лорана, т. е. , тогда

(1)

Точка — изолированная устранимая особая точка.

2). Главная часть ряда Лорана содержит конечное «m» число членов, т. е.

,

тогда точка называется полюсом порядка «m», при этом

(2)

3). Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов, тогда точка существенно особая. Функция не определена.

Вычеты функции.

Определение. Вычетом аналитической функции относительно изолированной особой точки называется комплексное число, равное значению интеграла

,

взятому в положительном направлении по любому контуру , содержащему внутри себя единственную особую точку и лежащему в области аналитичности функции . Вычет функции обозначается

Вычет связан с рядом Лорана

, так как

Вычисление вычетов.

1.  Разложением функции в ряд Лорана.

Пример. Найти .

Решение. Представляем функцию рядом Лорана, для этого используем известное разложение в точке z=0.

Коэффициент — отсутствует, поэтому

и

2.  Функция имеет в точке полюс 1-го порядка, т. е.

тогда умножая обе части равенства на и переходя к пределу при , получаем

3.  Если функция , где , то

4.  Если функция в точке имеет полюс порядка , тогда

Основные теоремы о вычетах.

Теорема 1. Если функция аналитическая в области D за исключением особых точек , то

Пример. Вычислить .

Решение. В области функция имеет 2 особые точки

а) .

б)

.

Пример. Вычислить .

Решение. В круге две особые точки — полюсы 1-го порядка.

Теорема 2. Если функция аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа полюсов , расположенных над действительной осью. Кроме того, предполагается, что тогда

Рис.18.

Пример. Вычислить .

Решение.

.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1. Комплексные числа и действия над ними.

1)  Изобразить на комплексной плоскости число Z с помощью вектора.

, , , ,

Рис.19.

Найдем модуль и аргумент для этих комплексных чисел и запишем их в тригонометрической и показательной формах.

Для имеем:

;

Значит, .

Для имеем:

Значит, .

Для имеем

Значит,

Для имеем

Значит, .

Для имеем

;

Значит, .

2)  Вычислить , если

(учитывая, что );

;

3)  Найти

Запишем число в тригонометрической форме:

, т. е.

.

По формуле Муавра имеем

4)  Решить уравнение на множестве комплексных чисел.

Перепишем уравнение в виде или .

Число (-1) представим в тригонометрической форме:

.

Далее, по формуле (*) со стр. 8, находим,

Полагая, получаем:

Найденным корням уравнения соответствуют вершины правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в окружность радиуса r=1 с центром в начале координат.

Рис.20.

5) Изобразить на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих следующим условиям:

а) По формуле Для нахождения модуля комплексного числа имеем

, т. е.

Множество точек, удовлетворяющих условию , т. е. представляет собой окружность радиуса r=3 с центром в начале координат.

Рис.21.

б) .

Точки z лежат на луче, выходящем из начала координат под углом к действительной оси

Рис.22

в) .

Это неравенство можно переписать в виде:

Рис.23

г)

Это неравенство можно переписать в виде: , оно определяет множество точек, расположенных выше прямой y=-2.

Рис.24

д)

Первое неравенство определяет множество точек, расположенных между окружностями радиусом с центром в точке .

Второе неравенство определяет множество точек, расположенных между лучами

.

Вся система определяет множество точек, являющееся пересечением первого и второго множеств.

Рис.25

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1)  Изобразить на комплексной плоскости числа

Записать их в тригонометрической и показательной формах.

(Ответ:

.)

2)  Вычислить

Если а)

б) .

(Ответ: а)

б)

)

3)  Найти:

а)

б)

в)

(Ответ: а) б) 1; в) -1)

4)  Найти корни уравнения:

а)

б)

в)

( Ответ: а)

б)

в) )

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ.

1). Изобразить на комплексной плоскости число z, найти его модуль и аргумент.

2). Комплексное число z записать в показательной и тригонометрической формах:

3). Вычислить

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

4). Изобразить на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих следующим условиям

5). Вычислить:

6). Найти все корни уравнения:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши – Римана.

I)  1. Если , то можно записать в виде:

, где

— действительная часть

— мнимая часть .

2. Некоторые элементарные функции комплексного переменного:

— формула Эйлера

Эта функция является многозначной. Главным значением называется то значение, которое получается при k=0, оно обозначается :

.

Пример.

Пример 1. Для данной функции , где , найти действительную и мнимую часть :

а) б) в) .

Решение: а)

т. е.

б) ,

т. е.

в)

т. е.

Пример 2. Для данной функции , где , найти и .

а) б) в)

Решение: а) Т. к. для действительного , а

б) Т. к. , то

Пример 3. Найти значение функции в т.

Решение:

.

Пример 4. Вычислить значение в точке

Записать ответ в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Решение: Т. к. вычисления непосредственно в алгебраической форме довольно трудоемко, запишем в показательной форме: отсюда следует, что

Пример 5. Вычислить:

Решение: Зная, что получим

II)  Функция называется аналитической в т. , если она дифференцируема в этой точке.

Теорема Коши – Римана: Для того, чтобы функция была дифференцируема в т. z н. и д., чтобы функции были дифференцируемы в т. и выполнялось равенство:

— условия

Коши – Римана.

Если существует производная , то ее можно записать одним из следующих способов:

Производные элементарных функций находятся по известным формулам дифференцирования: и т. д.

Если функция — аналитическая, то и являются функциями, гармоническими. И для каждой из них верно уравнение Лапласа:

, , ∆ — оператор Лапласа.

Пример 1: Проверить, будут ли дифференцируемы функции:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б) — функция аналитическая.

в)

— не дифференцируема.

Пример 2. Найти аналитическую функцию по известной ее мнимой части при условии, что

Решение: Имеем По первому из условий Коши – Римана должно быть , так, что Отсюда , где — пока неизвестна. Дифференцируя по y и используя второе из условий Коши – Римана, получим

, где

Итак, , и, следовательно,

, т. е.

Пример 4. Показать, что функция является гармонической.

Решение:

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

1) Вычислить все значения функции при

2) Найти аналитическую функцию , зная ее действительную или мнимую части.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3. Контурные и определенные интегралы.

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного z сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов:

(1)

Если кривая с задана параметрическими уравнениями и начальная и конечные точки дуги с соответствуют значениям параметра , то

, (2)

где .

Если функция аналитична в односвязной области D, содержащей точки , тот имеет место формула Ньютона – Лейбница

, где (3)

— какая-либо первообразная для функции , т. е. в области D.

Если функции аналитические в односвязной области D, а произвольные точки этой области, то имеет место формула интегрирования по частям:

Интеграл от аналитической функции в односвязной области D не зависит от пути интегрирования, а по замкнутому контуру равен нулю .

Пример 1. Вычислить интеграл где c – отрезок прямой от точки до точки .

Решение: Уравнение данного отрезка

Рис.26

Ответ: -2+i.

Пример 2. Вычислить интеграл , где c – дуга окружности от точки до точки .

Решение: Т. к. , то уравнение окружности можно записать

Ответ: -2.

Пример 3. Вычислить интеграл , где c – отрезок прямой, соединяющий точки

Решение: Уравнение прямой

Параметрические уравнения

Ответ: .

Пример 4: Вычислить интеграл .

Решение: Т. к. подынтегральная функция аналитична всюду, то применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим:

Ответ: 40,5-53i.

Пример 5. Вычислить интеграл

Функции являются аналитическими всюду. Применим формулу интегрирования по частям:

.

Ответ:

Пример 6: Вычислить интеграл где , c – замкнутый контур.

Решение: Функция аналитическая, следовательно интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

Ответ: 0.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

Вычислить интегралы:

Пример 1. где c – отрезок действительной оси от точки до точки Ответ: 0.

Пример 2. , где c – произвольная линия, соединяющая точки . Ответ: .

Пример 3. . Ответ: .

Пример 4. , где c – часть окружности

Ответ:

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

Вычислить интегралы:

1-3. по линиям, соединяющим точки

1) по прямой

2) по параболе

3) по ломаной где

4. , где с – дуга окружности .

5.

6.

7.

8. , с – прямая, соединяющая точки

9.

10.

11.

12.

13. , с – дуга параболы , соединяющая точки

14. , с – отрезок прямой, соединяющий те же точки, что в (13)

15. , с – отрезок прямой, соединяющий точки

16.

17. .

18. , где Обход против часовой стрелки.

19. , где . Обход против часовой стрелки.

20. , где с – часть окружности .

21-22.

1) с – отрезок прямой от точки 0 до точки .

2) дуга параболы от точки 0 до точки .

23. , где с – отрезок прямой от точки 0 до точки .

24. , где с – отрезок прямой от точки до точки .

25. , где с – отрезок прямой от точки до точки .

26. , где с – отрезок прямой от точки до точки .

27. , где с – отрезок прямой от точки до точки .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4. Вычисление интегралов от функции комплексного переменного с помощью интегральной формулы Коши и вычетов.

Если функция является аналитической в области D, ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром с, и на самом контуре, то справедливы интегральные формулы Коши:

, (1)

(2)

Если функция является аналитической на границе с области D и всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек то

(3)

Если есть полюс m-го порядка функции , то

(4)

В случае простого полюса при

(5)

(6)

где — полюсы аналитической функции , расположенных над действительной осью,

Вычислить интегралы:

Пример 1.

Решение: Внутри окружности знаменатель дроби обращается в нуль в точке . Для применения формулы (1) перепишем интеграл в следующем виде:

Функция является аналитической в круге . Поэтому

Ответ:

Пример 2. .

Решение: Разложим знаменатель на множители, для чего приравняем его к нулю и найдем корни:

Внутри окружности знаменатель обращается в нуль в точке . Для применения формулы (1) перепишем интеграл в следующем виде:

Здесь и функция является аналитической в круге . Поэтому

.

Ответ: .

Пример 3. .

Решение: Подинтегральная функция является аналитической в области всюду, кроме точки . Поэтому в качестве возьмем функцию .

Полагая в формуле (2) , получим:

.

Ответ: .

Пример 4. .

Решение: В области функция имеет две особые точки: полюс второго порядка и — полюс первого порядка.

По теореме Коши о вычетах:

По формуле (4) найдем

.

По формуле (5)

Окончательно получим:

.

Ответ: .

Пример 5. .

Решение: Введем функцию , которая имеет в верхней полуплоскости полюс третьего порядка , равный i. Следовательно, по формуле 6:

вычислим по формуле (4)

.

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

. Ответ:

. Ответ:

Ответ:

. Ответ:

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ.

Вычислить интегралы.

1.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие. 4

Лекция 1. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ. 5

Лекция 2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. 10

Лекция 3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. 18

Лекция 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. 25

Лекция 5. Ряды в комплексной области ………… 31

Лекция 6. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. ВЫЧЕТЫ. 34

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1. Комплексные числа и действия над ними. 39

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши – Римана. 53

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3. Контурные и определенные интегралы. 60

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4. Вычисление интегралов от функции комплексного переменного с помощью интегральной формулы Коши и вычетов. 66

ЛИТЕРАТУРА

1.  Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — М.; Наука 1985, 464с.

2.  В. Г. Власов. Конспект лекций по высшей математике. М.; Айрис. 1996г. 287с.

3.  Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. II. М. Высш. шк. 2003. 415с.

4.  М. П. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М. «Наука». 1981. 303с.