Разложение вектора по базису

4.  – скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны или хотя бы один из них равен нулю.

5.  – скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

е) Разложение вектора по базису – это представление одного вектора через другие, называемые базисными.

Под базисом на плоскости подразумевается два неколлинеарных вектора плоскости, взятых в определенном порядке. Под базисом в пространстве понимается три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. Если на плоскости выбраны два базисных вектора и , то любой вектор плоскости может быть представлен в виде:

.

Аналогично в пространстве: если базисными будут векторы , то любой вектор пространства выражается так: . Если на плоскости или в пространстве выбрана прямоугольная декартовая система координат, в которой базисные векторы попарно перпендикулярны, то любой вектор можно записать так: или , где – единичные векторы соответствующих осей координат.

Пример 17. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы . Выразить через них векторы если длина .

Пример 18. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ; M и N – середины сторон ВС и АС. Выразить векторы и через и — единичные векторы (рис. 9).

Решение.

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Пример 19. Три вектора расположены в одной плоскости. Известно, что векторы и составляют с вектором углы в 600. Определить угол между векторами и и длину вектора .

Решение. Векторы и могут находиться по одну сторону от , (тогда угол между ними равен ) и по разные стороны (тогда между ними угол в ):

Соответственно длина вектора для каждого случая будет своя:

а)

, .

б)

, .