Разложение полинома

3. )), приводимый над .

4., приводим над и неприводим над .

Свойство: Пусть полином p(x) неприводим над , тогда:

1. 

2. 

Определение: Разложение полинома называется разложением на неприводимые множители и представлено в виде

,

Определение: Для произведения полинома в степени (deg f(x) единственное с точностью до порядка сомножителями разложение на неприводимые множители.

6.  Каноническое разложение на неприводимые множители. Нахождение НОД и НОК полиномов.

Определение: Каноническим разложением называется полином , .

Свойство: Произведение полинома со степенью (deg f(x)можно единственном образом представить с точностью до порядка сомножителями в каноническом виде.

Свойство: Если и , .

неприводимое разложение на множители, тогда НОД

,

НОК .

7.  Функциональное и алгебраическое равенства полиномов.

Алгебраическое определение равенства: (1)

называются равными, если

На многочлен можно смотреть как на функцию: (2)

равны (в функциональном смысле), если значение .

Теорема:

Алгебраическое и функциональное определения равенства эквивалентны.

Доказательство:

1) Пусть многочлены равны по (1) определению.

Дано:

а значение многочлена определено однозначно. Значит , т. к. коэффициенты равны.

2) Пусть равны по (2) определению.

Дано:

: