Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд фурье

а) S(x)=f(x), если х-точка непрерывности f(x)

б) S(x)=(f(x0-0)+f(x0+0))/2

в) S(-L)=S(L)=(f(-L+0)+f(L-0))/2

Замечание к теореме2: явление Гиббса.

Теорема3 Если функция f(x) принадл. L2 [-L, L] является кусочно-гладкой и непрерывной на [-L, L] и на концах этого отрезка принимает одинаковые значения, то ее тригонометрический ряд Фурье на

[-L, L] сходится равномерно к f(x) на [-L, L].

33. Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье только по синусам или только по косинусам.

[подставим a(w), b(w)]=

{x — точка непрерывности f(x)

{x – точка разрыва первого рода

-====-

чётная

34. Комплексная форма тригонометрического рядя Фурье.

— периодические (Т-ль)

35. Интеграл Фурье. Комплексная форма интегралов Фурье.

непериодическая

Пусть f(x) абсолютно интегрируется на

сходится

— класс абсолютно интегрируемых функций.

Пусть f(x)

— кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая.

Выражение I(x)>— называется интегралом Фурье.

Теорема:

Пусть f(x) – кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая, но и абсолютно-интегрируема от , тогда интеграл Фурье сходится в каждой точке и справедливо следующее соотношение:

если х – точка непрерывности.

, если х0 – точка разрыва первого рода f(x).

Замечание 1: если f(x) – четное, то b(w)=0,

Если f(x) не четное, то а(w)=0,

Замечание 2: для функции абсолютно интегрируемой на можно написать интеграл Фурье только с косинусами или только с синусами, продолжая её на четным или нечетным образом.

Теорема 1: если f(x) принадлежит L2[-l;l] – кусочно-непрерывная на [-l;l], то её тригонометрический ряд Фурье сходится к f(x) в среднем к функции f(x) на [-l;l]. Это следует из полноты и замкнутости основной тригонометрической системы.

Теорема 2 (Дерихле): если f(x) принадлежит L2 на [-l;l] – кусочно-гладкая на [-l;l], то её тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка и для суммы S(x) ряда Фурье выполняется: 1) S(x)=f(x) если x – точка непрерывности f(x). 2) S(x)=, если х0-точка разрыва 1-го рода. 3) S(-l)=S(l)=

Замечание к теореме 2:

Явление Гиббса.

Теорема 3: если функция f(x) принадлежит L2[-l;l] является кусочно-гладкой и непрерывной на промежутке от [-l;l] и на концах этого отрезка принимает одинаковые значения, то её тригонометрический ряд Фурье на [-l;l] сходится равномерно к f(x) на [-l;l].