Учебные материалы по математике | Разложение многочлена на неприводимые множители | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Разложение многочлена на неприводимые множители


4. f1, f2 P[x], h – неприводим в Р; (f1 f2)h => f1h или f2h.

Док-во: Рассмотрим f, h – неприводим => (по св-ву 1) f1h — доказано или (f1, h)=1. Рассмотрим 2-й случай: По условию (f1f2)h и (f1,h)=1 => f2h. – доказано.

Следствие: f1,f2..fn h, h – неприводим в Р.=> f1h или f2h или fnh., т. е. если произведение нескольких мн-ов делится на непривод. h, то один из сомножителей делится на h.

5. Каждый мн-н кольца P[x] ст. n хотя бы на один неприв над Р мн-н.

Док.: Индукцией по ст. n мн-на f

1) Если n=1, то f непр. и дел-ся на себя.

2) Пусть мн-на ст. < n T верна.

3) Док-ем для мн-на ст.=n. Если f непр., то он дел. на себя и все док-но. Если f прив., то . По инд. предп., h дел. на некот. непр. мн-н р, а тогда:

Теорема: Всякий мн-н fP[x] разлагается в произведение неприводимых в Р множителей. Такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности.

Док-во: 1) Существ-ие разложения. Используем ММИ по степени n мн-ов f(x).

10. Док-ем утв-ие для мн=ов ст. 1.

fP[x], cт. f = 1=> f – неприводим в Р.

20. Док-ем утв-е для мн-ов ст. n в предп-ии, что утв-ие справедливо для всех мн-ов, ст. кот-ых меньше n.

fP[x], cт. f = n.

Если f – неприводим в Р, то утв-е доказано.

f – прив. в Р => f = gφ (*); g, φ P[x], 0 < ст. g < n, 0 < ст.φ < n =>(в силу инд. предп-ия) для g и φ утв-е справедливо.

g = h1h2..hk, hi – неприводим в Р

φ = q1q2..qt, qj – неприводим в Р => (по(*)) f = h1h2..hk q1q2..qt; hi, qj – неприводимы в Р.

10 и 20 => утв-е справедливо для мн-ов ст. n.

2) Единственность. Используем ММИ по ст. n мн-на f.

10. fP[x] cт. f = 1=> f – неприв. в Р => он не разлагается на множители низшей степени и поэтому теорема справедлива.

20. fP[x] cт. f = n.

f – неприводим в Р, то утв-е доказано.

Пусть f разлагается в произведение неприводимых мн-ов двумя способами.

f = p1p2..pk, pi – неприводим в Р

f =q1q2..qt, qj – неприводим в Р. => p1p2..pk= q1q2..qt => p1p2..pkq1; q1 – неприводим => ( по св-ву 4) один из сомножителей делится на q1.

Пусть для определённости р1q1; р1,q1 — неприводимы => (по св-ву 3) р1 и q1 => p1=cq1=>(по (*)). => cq1p2..pk=q1q2..qt => (cp2)p3..pk=q2q3..qt=F, ст. F < ст. f =n => k=t, p1 и q1 — попарно ассоциированы => утв-е справедливо для f.

Из 10 и 20 следует справедливость теоремы.

Канонич. разложение мн-на на мн-ли.

Следствие 1: Удобно разложение полинома f на неприводимые множители f = p1p2..pk., pi – неприв. в Р записывать в следующей форме: с1, с2, .. ск – старшие коэф. р1,р2,..рк .соотв-но, тогда разл-ие можно записать в виде:

f = cq1q2..qk (*), cP, qi – неприводим в Р со старшим коэф-м = 1 ().

Следствие 2: В разложении (*) некоторые множители могут быть равными и тогда их можно объединить в степени. В этом случае (*) примет вид: f =

p1, p2 ..pt –попарно различные неприводимые в Р мн-ны со старшими коэф-ми = 1(нормированные мн-ны). Полученное разложение для f наз-ся каноническим.

Вопрос 9.

Разложение многочлена на неприводимые множители над полем С(комплексных) и R(действительных) чисел.

Опр.: Мн-н f(x), f(x)≠0 степ. n наз. неприводимым над P, если f(x) имеет в кольце только тривиальные делители.

Опр: Мн-н f(x) положительной степ. n наз. приводимым над Р, если f(x) имеет в кольце делители отличные от тривиальных. Из опр. делимости многочленов: Если f(x) приводим над Р, то многочлены g(x) и f(x): f(x)=g(x)h(x), где ст. g(x) >0 , но < ст. f(x) и 0<ст. h(x)< cт. f(x). Т. е. мн-н f (x) может быть разложен в произведение 2 х многочленов полож. степни, а неприводимые так представлены быть не могут.

Теорема1 (осн. Теор. алгебры)Всякий многочлен с комплексными коэффициентами ст. n имеет хотя бы один комплексный корень.

Внимание: необх. знать понятие корня мн-на: если , то наз. корнем , если .

Теорема2: Над полем комп. чисел непривод. явл. только многочлены 1ой степени.

Док-во: пусть. Как известно мн-ны первой степени яв-ся непривод-ми над любым полем P => и над полем С.

Ст f(x)=n>1 =>(по Т1) сущ-т корень с полинома f(x) =>

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод