Разложение многочлена на неприводимые множители

4. f1, f2 P[x], h – неприводим в Р; (f1 f2)h => f1h или f2h.

Док-во: Рассмотрим f, h – неприводим => (по св-ву 1) f1h — доказано или (f1, h)=1. Рассмотрим 2-й случай: По условию (f1f2)h и (f1,h)=1 => f2h. – доказано.

Следствие: f1,f2..fn h, h – неприводим в Р.=> f1h или f2h или fnh., т. е. если произведение нескольких мн-ов делится на непривод. h, то один из сомножителей делится на h.

5. Каждый мн-н кольца P[x] ст. n хотя бы на один неприв над Р мн-н.

Док.: Индукцией по ст. n мн-на f

1) Если n=1, то f непр. и дел-ся на себя.

2) Пусть мн-на ст. < n T верна.

3) Док-ем для мн-на ст.=n. Если f непр., то он дел. на себя и все док-но. Если f прив., то . По инд. предп., h дел. на некот. непр. мн-н р, а тогда:

Теорема: Всякий мн-н fP[x] разлагается в произведение неприводимых в Р множителей. Такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности.

Док-во: 1) Существ-ие разложения. Используем ММИ по степени n мн-ов f(x).

10. Док-ем утв-ие для мн=ов ст. 1.

fP[x], cт. f = 1=> f – неприводим в Р.

20. Док-ем утв-е для мн-ов ст. n в предп-ии, что утв-ие справедливо для всех мн-ов, ст. кот-ых меньше n.

fP[x], cт. f = n.

Если f – неприводим в Р, то утв-е доказано.

f – прив. в Р => f = gφ (*); g, φ P[x], 0 < ст. g < n, 0 < ст.φ < n =>(в силу инд. предп-ия) для g и φ утв-е справедливо.

g = h1h2..hk, hi – неприводим в Р

φ = q1q2..qt, qj – неприводим в Р => (по(*)) f = h1h2..hk q1q2..qt; hi, qj – неприводимы в Р.

10 и 20 => утв-е справедливо для мн-ов ст. n.

2) Единственность. Используем ММИ по ст. n мн-на f.

10. fP[x] cт. f = 1=> f – неприв. в Р => он не разлагается на множители низшей степени и поэтому теорема справедлива.

20. fP[x] cт. f = n.

f – неприводим в Р, то утв-е доказано.

Пусть f разлагается в произведение неприводимых мн-ов двумя способами.

f = p1p2..pk, pi – неприводим в Р

f =q1q2..qt, qj – неприводим в Р. => p1p2..pk= q1q2..qt => p1p2..pkq1; q1 – неприводим => ( по св-ву 4) один из сомножителей делится на q1.

Пусть для определённости р1q1; р1,q1 — неприводимы => (по св-ву 3) р1 и q1 => p1=cq1=>(по (*)). => cq1p2..pk=q1q2..qt => (cp2)p3..pk=q2q3..qt=F, ст. F < ст. f =n => k=t, p1 и q1 — попарно ассоциированы => утв-е справедливо для f.

Из 10 и 20 следует справедливость теоремы.

Канонич. разложение мн-на на мн-ли.

Следствие 1: Удобно разложение полинома f на неприводимые множители f = p1p2..pk., pi – неприв. в Р записывать в следующей форме: с1, с2, .. ск – старшие коэф. р1,р2,..рк .соотв-но, тогда разл-ие можно записать в виде:

f = cq1q2..qk (*), cP, qi – неприводим в Р со старшим коэф-м = 1 ().

Следствие 2: В разложении (*) некоторые множители могут быть равными и тогда их можно объединить в степени. В этом случае (*) примет вид: f =

p1, p2 ..pt –попарно различные неприводимые в Р мн-ны со старшими коэф-ми = 1(нормированные мн-ны). Полученное разложение для f наз-ся каноническим.

Вопрос 9.

Разложение многочлена на неприводимые множители над полем С(комплексных) и R(действительных) чисел.

Опр.: Мн-н f(x), f(x)≠0 степ. n наз. неприводимым над P, если f(x) имеет в кольце только тривиальные делители.

Опр: Мн-н f(x) положительной степ. n наз. приводимым над Р, если f(x) имеет в кольце делители отличные от тривиальных. Из опр. делимости многочленов: Если f(x) приводим над Р, то многочлены g(x) и f(x): f(x)=g(x)h(x), где ст. g(x) >0 , но < ст. f(x) и 0<ст. h(x)< cт. f(x). Т. е. мн-н f (x) может быть разложен в произведение 2 х многочленов полож. степни, а неприводимые так представлены быть не могут.

Теорема1 (осн. Теор. алгебры)Всякий многочлен с комплексными коэффициентами ст. n имеет хотя бы один комплексный корень.

Внимание: необх. знать понятие корня мн-на: если , то наз. корнем , если .

Теорема2: Над полем комп. чисел непривод. явл. только многочлены 1ой степени.

Док-во: пусть. Как известно мн-ны первой степени яв-ся непривод-ми над любым полем P => и над полем С.

Ст f(x)=n>1 =>(по Т1) сущ-т корень с полинома f(x) =>