Равносоставленные фигуры равновелики

Пусть длины сторон прямоуг. L=а, в. Измеpим S прямоуг. L единич-ым квадратом.

1. Если а, в ЄN, то единич-й квадрат уложится в данном прямоуг-ке ав раз и => S прямоуг-ка= ав

2. а, в ЄQ, а, в не пренадлежат N, то разобьём единич-й отр. на 10n равных частей => единич-й квадрат разобьём на 102n мелких квадратов. Т. к. а, вЄQ, т. е. представлены в виде десятич. дробей, то стороны прямоуг-ка в новой ед-це измерения м. выразить числами: а/10 n и в/10 n, а S=ав/10 2n

3. Если хотя бы одно из чисел а или в иррац-ое (бесконечн. десятич. периодич. дробь), то S есть число, разделяющее мн-во чисел {аn·вn} и {аn’·вn’}, где аn,вn –десятич-ые приближения чисел а,в по недостатку, а аn’,вn’— десятичн. приближения по избытку.

Т. о. S со сторонами а, в выраж-ся числом а·в. Причём, если измен-ся ед. измер-я, то меняются и числа, выражающие длины сторон прямоуг-ка и его S, но при этом все эти числа получают один и тот же множитель.

Не трудно убедиться, что в этом случае выпол-ся все условия определений операции измерения и поля опред-я величины.

Определив т. о. S, расширим мн-во Ω , добавив сначала ступенчатые фигуры (к-ые м. разбить на прямоуг-ки) и постепенно расширяя это мн-во рассмотрим мн-во всевозмож-х фигур плоскости.

Способы измерение S:

1. Аналитический способ (используя готовые формулы)

2. Сеточный способ измер-я S

Пусть Ω –мн-во всех фигур плоскости. Условие Ф1(фи)~ Ф2 означает, что фигуру Ф2 м. переместить на плоскости так, что она совпадёт с фигурой Ф1. Пусть на плоскости задана мелкая сетка. Измерим S некот-ой фигуры Ф в этой сетке. Посчитаем кол-во целых клеток сетки, содержащихся в Ф. Пусть их число = n. Далее посчитаем кол-во клеток сетки, пересекающихся с Ф (нецелых). Пусть их кол-во = m. Рассмотрим сумму n+m/2, округлим полученное число и обозначим его Р и назовём площадью данной фигуры. S(Ф)=Р

Данный способ измерения S явл-ся приближённым, но его м. сделать более точным, уменьшив ячейки клетки.

Этот принцип измерения S плоских фигур лежит в основе сеточного метода нахожд-я S. Удобно использовать палетку. О понятии равносоставленности.

¨  Фигуры Ф1 и Ф2 наз. равносоставленными, если каждую из них м. разрезать на части так, чтобы части фигуры Ф1 были равны соответ-щим частям фигуры Ф2.

¨  Две фигуры на плоскости наз. равновеликими, если они имеют одинаковую S.

Теор. Равносоставленные фигуры равновелики. (Больяй-Гервина)

В силу этой теоремы любой многоуг-к разрезанием и перекладыванием частей м. превратить в равновеликий ему квадрат. Понятие равносост-ти лежит в основе метода разбиения, к-ый примен-ся для вычисл-я S. При этом парал-мм сводят к равновеликому ему прямоуг-ку, треуг-к к парал-мму, трапецию к треуг-ку и т. д.

Эквивал-ым понятием равносост-ти явл-ся понятие равнодополяемости, к-ое лежит в основе метода дополнения при нахождении S фигур. В этом случае две фигуры допол-ся равными частями так, чтобы после такого допол-я получившиеся фигуры были равны.

3.Способ дополнения: фигуру с неизвестной площадью дополняют фигурой с известной площадю до фигуры с известной площадью.

Ед. измер. S: стандартн ед. изм. яв-ся кВ. метр. Использ-ся производные ед. (кв. мм, кв. см. и т. д.)

22. Числовые ф-ции. Прямая и обратная пропорц-ти, их св-ва и графики.

Некот-ые св-ва ф-ций. Примеры.

Функцией наз-ся всюдуопред-ое соотв-е. если обл. опред-я и обл. зн-ния ф-ции явл-ся подм-вом R, то ф-ция наз-ся числовой. Соотв-е f наз-ся всюдуопред-м если его обл определения совпадает с обл отправления

·  у = f(х), заданная на мн. Х наз. возрастающей, если (люб.х1, х2 э Х) (х1>х2 f(х1) >f(х2)), т. е. если большему знач. аргумента соот-ет большее знач. ф-ции.

·  у = f(х) наз. убывающей на мн. Х, если (люб.х1,х2 э Х)(х1<х2f(х1)<f(х2)), т. е. если большему знач. аргумента соот-ет меньшее знач. ф-ции.

·  у = f(х) наз. монотонной на мн. Х, если на этом мн-ве она или убывает, или возрастает.

·  у = f(х) наз. чётной, если (люб.х э D(f)) (- х э D(f)) f(-х)= f(х)

% у= х2+2, у= cos х – график чёт. ф-ции симметрич. оси ОУ

·  у = f(х) наз. нечётной, если (люб.х э D(f)) (- х э D(f)) f(-х)= — f(х)

% у=х3-2х, у=sin x – граф. нечёт. ф-ции симметрич. относит. начала координат.

·  у = f(х) наз. периодической, если сущ-ет такое число Т, что (люб.х э D(у))(f(х+(-)Т)=f(х))

·  Число Т наз. периодом ф-ции.

·  у = f(х) наз. ограниченной на мн-ве Х, если сущ. такое число с, что (люб.х э D(у))(|f(х)|<с)

·  Прямой пропорц-тью наз. Функция заданная ур-ем у = kх, k э R, k ≠0 некот. действит постоянной.

·  Если отнош-е двух величин равно некот. числу, то их наз. прямо пропорц-ыми у /х = k , k – коэффиц-т пропорц-ти.

Чтобы найти k достаточно знать одну пару (х0, у0) соответств. др. другу знач. перемен. х и у, х0 =/0 , у0=/0. Графиком данной ф-ции явл-ся прямая, проходящая ч-з начало координат.

%1. При пост. цене стоимость товара прямо пропорц. его кол-ву. k – цена.

2. При пост. ск. движ. длина пути прямо пропорц. времени движ. k – скорость.

Св-ва: 10 D(y) = R , E(y) = R

20 график – прямая ч/з нач. координат углов. коэффиц. k = tg L, L— угол, образов. прямой у = kх с положит. направл. ОХ.

30 Если k>0 , то ф-ция у = kх возрастает на D(y); k<0 – убывает на D(y).

40 (х1, у1), (х2, у2) пары соответств. знач. перемен. ф-ции у = kх, х1 =/0, то х2/х1=у2/у1

Если знач. перемен. х и у только положит., то 40 можно сформулир-ть так:

с увелич.(уменьш.) знач. перемен. х в неск. раз знач. перемен. у увелич.(уменьш.) во столько же раз.

·  Если произвед. двух величин равно некот. числу отличн. от 0, то такие величины наз. обратно пропорц-ыми.

·  Обратной пропорц-тью наз. ф-ция вида у = k/х, k=/0.

% 1. Цена товара и кол-ва при постоян. стоимости.

2. Скорость и время движ. при постоян. пути.

Св—ва: 10 D(y) = R|{0} , E(y) = R|{0}

20 графиком обратн. пропорц-ти явл. гипербола, если k>0 – ветви расположены в 1 и 3 коорд. четвертях, k<0 – ветви в 2 и 4 координ. четвертях.

30 у = k/х явл-ся нечётн.

40 Если k>0 , то ф-ция убывает на всей D(y), k<0 — возрастает на всей D(y).

50 (х1, у1), (х2, у2) – две пары соответств. др. другу знач. х и у у = k/х, то х2/х1 = у1/у2

Если перемен. х и у приним. положит. знач., то 50 можно сформулир-ть в виде:

с увелич.(уменьш.) знач. перемен.х в неск. раз знач. перемен. у увелич. (уменьш.) во столько же

23. Числовые выраж-я и их знач-я. Числовые рав-ва и нерав-ва, их св-ва. Понятие ур-я с одной переменной. Теор-мы о равносильных ур-ях.

·  Числов. выраж-е наз.: 1. любое число

2. выраж-я вида: А*В, А/В, где А и В – числов. выраж-я.

Выполнив послед-но арифметич. действия указан. выраж-й, мы получим число, кот. наз. знач-ем данного числового выраж-я.

Если числов. выраж-е не имеет числовое знач., то про него говорят, что оно не имеет смысла.

·  Если два числов. выраж. А и В соединить знаком равенства, то получ. предлож. А=В, кот. наз. числовым равенством.

С т. зр. логики числов. рав-во наз. высказыванием истинным или ложным.

% 4*2-1=(1+2)*3-2 — истинно, 3*5=14-2 — ложно

Св-ва: 10Если к обеим частям истинного числов. рав-ва прибавить числ. выраж-е, имеющее смысл, то получим также числовое истинное рав-во.

20 Если обе части истинного числов. рав-ва умножить на одно и то же числов. выраж-е, имеющее смысл, то получ. истинное числов. выраж-е.