Учебные материалы по математике | Расширенная комплексная плоскость | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Расширенная комплексная плоскость


Доказательство вытекает из непрывности отображений и А именно, если мало, то и малы, а также если малы, то мал (модуль мал). □

Предложение 2. Из абсолютной сходимости следует сходимость ряда.

Докажем этот факт. Обозначим . Тогда для любого 𝜺 >0 найдется, благодаря критерию Коши, натуральное N такое, что для любых имеет место неравенство Без ограничения общности можно считать, что . Тогда

Применяя снова критерий Коши к ряду , получаем его сходимость. □

6  Расширенная комплексная плоскость

Открытую область |z|>R считаем R-окрестностью бесконечно удаленной точки ∞ . Считаем:

z/∞ = 0, ∞ +z=z+∞ =∞ (z∈ ℂ ), c/0 =∞ , ∞ ⋅ c=c⋅ ∞ =∞ (c∈ ℂ *).

Поле комплексных чисел, пополненное элементом ∞, с определенными для него выше правилами, назовем расширенной комплексной плоскостью.

Поместим комплексную плоскость ℂ в трехмерное пространство и рассмотрим в этом пространстве сферу Римана . Точку N(0,0,1) назовем северным полюсом, а точку S(0,0,-1) назовем южным полюсом. Построим стереографическую проекцию сферы Римана на комплексную плоскость, т. е. отображение ℂ такое, что для любой точки P∈ ℜ , не совпадающей с северным полюсом, точки N, P и (P)∈ ℂ лежат на одной прямой. Получаем биективное соответствие между точками сферы Римана с выброшенным северным полюсом и точками комплексной плоскости.

Предложение. Стереографическая проекция задается формулами:


Если последовательность точек Pn на сфере Римана стремится к N, то и наоборот, если последовательность комплексных чисел стремится к ∞ , то приближается к северному полюсу по сфере Римана.

7  Дробно-линейная функция

7.1  Группа дробно-линейных преобразований сферы Римана

Функция вида , где a, b,c, d∈ ℂ и ad-bc≠ 0, называется дробно-линейной . В частности, дробно-линейной функцией будет всякая линейная функция w=az+b с a≠ 0. Дробно-линейная функция неопределена в точке — d/c, но нетрудно вычислить, что предел функции при равен ∞. Полагаем по определению w(-d/c)=∞ и, кроме того, ясно, что w(∞ )=a/c. Тогда дробно-линейная функция задает биективное преобразование расширенной комплексной плоскости.

Предложение. Обратная к дробно-линейной функции также будет дробно-линейной функцией . Композиция дробно-линейных функций снова будет дробно линейной функцией.

7.2  Инверсия.

Для изучения свойств дробно-линейных преобразований понадобится понятие инверсии относительно окружности γ радиуса R с центром в точке O. Точки P и P’ называются инверсными относительно γ, если они лежат на одном луче, выходящем из точки O, и произведение расстояний от них до точки O равно R2:

OP⋅ OP’=R2. (1)

A P

 

O P’

Рис. 1 Инверсия относительно окружности

Преобразование евклидовой плоскости, переводящее всякую точку P, не совпадающую с O в инверсную точку P’, называется инверсией. При инверсии точки окружности γ остаются неподвижными, внутренность круга OP'<R переходит во внешность этого круга и наоборот. Из определения инверсии вытекает геометрический способ построения инверсной точки P’ по заданной точке P (рис. 1). Рассмотрим лишь случай, когда P лежит вне круга. Проводим касательную к окружности γ из точки P. Пусть A — точка касания. Опускаем перпендикуляр из точки A на луч OP. Инверсная точка P’ будет основанием этого перпендикуляра. Это следует из подобия треугольников OAP’ и OAP:

OA / OP = OP’/OA, откуда R2=OA2=OP⋅OP’.

При инверсии центр круга переходит в бесконечно удаленную точку. Наоборот, если P→ ∞ , то P’→ O.

Предложение. Если евклидову плоскость превратить в плоскость комплексного переменного так, что точка O изображает нулевое комплексное число, то инверсия будет задаваться формулой

Действительно, числа z и R2/|z|2 z отличаются положительным множителем. Это показывает, что точки z и R2/ лежат на одном луче. Далее,

| z| ⋅ | R2/|z|2 z| =|z|⋅ R2⋅ |z|/|z|2 =R2.

Предложение. Если на рис. 1 фиксировать точки P и M, а точку O устремить в бесконечность влево по горизонтальной прямой, то окружность γ будет приближаться к перпендикуляру в точке M, а точка P’ будет стремиться к точке, симметричной P относительно этого перпендикуляра. Иными словами, симметрия относительно прямой есть предельный случай инверсии относительно окружности "бесконечно большого радиуса".□

Теорема (геометрическая характеристика дробно-линейных преобразований).

1. Преобразование есть поворот на угол относительно 0.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод