Распределение пуансона

Найдем теперь мат ож-е и дисперсию для некоторых конкретных распределений.

(1)Биноминальное распределение – это появление, Pn(k)=Cnkpkqn-k, события А в n испытани1, в каждом из которых оно появляется с вероят-ю Р. Эту случ величину можно представить: X=X1+X2+…+Xn в виде суммы n случайных величин, каждый из которых принимает n значений.

Xk 1 0

P p q MXk=1p+0q=p;

MX=∑MXk=np; DXk=12p+0q-p2=pq;

DX=∑DXk=npqю

(2) Равномерное распределение.

Говорят, что непрерывная случ-я величина распределена равномерно на интервале, если каждое значение оно принимает с равной вер-тью, иначе говоря xϵ[a, b], f(x)=c.

Найдем сначала, чему равно с.

Воспользуемся сво-ом плотности: …..далее сзади1

Т. к дисперсия измеряется в квадратных единицах, а это не всегда удобно, то часто вместо дисперсии рассматривается величина – – среднеквадратичное отклонение.

(3) Распределение Пуансона

(4) Показательное распределение

Показательным (или экспоненциальным) называются непрерывные распределения, плотность которого задается ф-лой:

Ценность его состоит в том, что он зависит только от 1 параметра.

…формулы сзади…2

18-19) Нормальное распределение.

Наиболее важной и наиболее широкой по распространению в природе и технике является нормальное распределение. Неперывная случ величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения .

Найдем мат ожидание:

Первый интеграл-интеграл Пуансона и нами вычисляется:

=

Можно показать, что DX=σ2.

Нарисуем график этой плотности.

Прямая x=a является осью симметрии кривой Гаусса, с изменением а, кривая не меняя формы перемещается вдоль оси ОХ.

— площадь=1

Т. к площадь под графиком ф-ции =1 и const, о с увел-ем σ макс-е значение уменьшается и кривая размазывается вдоль оси ОХ (кривая 2).

Если а=0, σ=1 – стандартное распределение (или нормальное). φ(х)= . От норм распределения с произ-ми а и σ к стандартному можно прийти с помощью замены:

..

При а=0 и σ – разных, кривая выглядит так:

Задача о вер-ти попадания в заданный интервал.

Покажем как используется нормальное распределение для нахождения вер-ти попадпния случ вел-ы в некоторый интервал. P(a<X<b)= , для этой ф-ции: P(α<X<β)= – это интеграл неберущийся, вторая проблема состоит в том, что он будет разный для разных а и σ. Однако у нас есть правило стандартного распр-я к норм-му.

P(α<X<β)=P(α-a/σ<X-a/σ<β-a/σ)=F(β-a/σ)-F(α-a/σ).

Здесь F0(x)-ф-ция распределения для стандарт норм вел-ы.

…

Эта ф-ция табултрована, однако таблицу можно уменьшить вдвое, если Ф(Х)=F0(X)-1/2,

Ф(-Х)=-Ф(Х), Ф(Х)=φ – ф-ция Лапласа, y-1/2 –ассимптота.

Причем стремление к этой асимптоте достаточно быстрое: х>>3,5; Ф(Х)=0,5.

Т. о формула для нахождения вер-ти попадпния нормальной случ вел-ы в интервал симметричный от-но мат. ожидания.

Задача по абсолютному отклонению

Опр: абсолют отклонением от случ. Величины наз-ся: . Найдем вер-ть того P().

///ф-лы сзади///1

Для нахождения k эти вер-ти нужно задать. Вер-ть того, что абсолют отклон-я норм-го распр-я сл-ой вел-ы не превосходит некоторого предела, зваисит от того, во сколько раз этот предел больше стандарта, рассматриваемой вел-ы.

///формулы сзади///

Центральная предельная теорема

Широкая распространенность норм-го распределения в природе и технике оъясняется с помощью теоремы Ляпунова, носящее название центральной пред. теоремы. X=X1+X2+…+X/

Если сл

Уч. вел-а Х представляет сумму большого числа взаимно незав-х случ. вел-н, вклад в каждый из которых мал, то их сумма имеет распределение близкое к нормальному. Вспомним интегр теорему Лапласа: P(k1<X<k2)=Ф()-Ф(). Эта теорема задает вер-ть того, ч то число наступлений события А биноминальной распределенной случ вел-ы нах-ся в некоторых пределах.

МХ=np , DX=npq. Оказывается что для больших n бином-е распред-е близко к норм-му: a=np, σ=npq.

20)Оценка отклонения теоретического распр-я от норм-го.

Ассиметрия. Эксцесс.

Теоретическим наз-ся распр-е от-но вер-тей, эмпирическим — распр-е отн-но частот.

При получении опытных данных мы всегда имеем дело с эмпирическим распр-ем.

Возникает вопрос: на сколько оно близко к теорет-у? Чаще всего этот вопрос решается для нормального распред-я путем сравнения. Вводятся некоторые хар-ки получаемые по опытным данным и сравн-ся с заданными заранее значениями.

Опр: Центр-й момент Mk=M[(x-MX)k];

Начальный момент Vk=M(Xk)

для к=1, v1=MX — матюожидание; k2=2, v2=DX – дисперсия – v2=2=DX, v1=1, .

Для симметричных распр-й: нечетные центральные моменты равны 0, поэтому отличие от 0 центр-го нечетного моментам хар-т ассиметрию распред-я!

////графики сзади///

Для оценки крутости ассиметрии используется понятие эксцесса: Ек=() — з,

Ек>0 – круче нормальной,

Ек<0-криавя положе нормальной.

Каждый способ исследования распределений с помощью этих хар-к носит название критерия согласия!

21) Закон больших чисел.

Док-ть нерав-во Чебышева и теорема Чебышева.

Об 1 случ вел-е нельзя сказать сколько значений она примет в результате эксперимента; а о суммарном поведении большого числа сл. вел-ин можно сказать достаточно много. Важно знать условие, при которых совокуп-е действие многих случ величин приводит к рез-ту почти независящих величин. Эти условия формул-ся в законе БОЛЬШИХ ВЕЛИЧИН.

Первая из этих теорем – теорема Бернули— об отклонении частоты от вероятности – уже доказана: . Сейчас мы докажем наиболее точную теорему – теорему Чебышева. Нерав-во Чебышева.

Мы сформулируем его и докажем его для дискретных случ величин, хотя оно справедливо и для непрерывных в-н.

Вер-ть того, что отклонение случ вел-ны Х от ее МХ не превосходит ε, не < (1-) :

P([X-MX]<ε)≥1- .

Док-во: вер-ть того, что P([X-MX]<ε) = 1- P([X-MX]≥ε), оценим теперь дисперсию:

DX=p1(x1-MX)2+p2(x2-MX)2+…+pn(xn-MX)2

Отбросим слагаемые для которых [X-MX]<ε, DX=≥pk+1(Xk+1 — MX)2+ pk+2(Xk+2 — MX)2+…+ pn(Xn — MX)2≥ε2(pk+1+pk+2+…+pn).