Распределение пуансона
Найдем теперь мат ож-е и дисперсию для некоторых конкретных распределений.
(1)Биноминальное распределение – это появление, Pn(k)=Cnkpkqn-k, события А в n испытани1, в каждом из которых оно появляется с вероят-ю Р. Эту случ величину можно представить: X=X1+X2+…+Xn в виде суммы n случайных величин, каждый из которых принимает n значений.
Xk 1 0
P p q MXk=1p+0q=p;
MX=∑MXk=np; DXk=12p+0q-p2=pq;
DX=∑DXk=npqю
(2) Равномерное распределение.
Говорят, что непрерывная случ-я величина распределена равномерно на интервале, если каждое значение оно принимает с равной вер-тью, иначе говоря xϵ[a, b], f(x)=c.
Найдем сначала, чему равно с.
Воспользуемся сво-ом плотности: …..далее сзади1
Т. к дисперсия измеряется в квадратных единицах, а это не всегда удобно, то часто вместо дисперсии рассматривается величина – – среднеквадратичное отклонение.
(3) Распределение Пуансона
(4) Показательное распределение
Показательным (или экспоненциальным) называются непрерывные распределения, плотность которого задается ф-лой:
Ценность его состоит в том, что он зависит только от 1 параметра.
…формулы сзади…2
18-19) Нормальное распределение.
Наиболее важной и наиболее широкой по распространению в природе и технике является нормальное распределение. Неперывная случ величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения .
Найдем мат ожидание:
Первый интеграл-интеграл Пуансона и нами вычисляется:
=
Можно показать, что DX=σ2.
Нарисуем график этой плотности.
Прямая x=a является осью симметрии кривой Гаусса, с изменением а, кривая не меняя формы перемещается вдоль оси ОХ.
— площадь=1
Т. к площадь под графиком ф-ции =1 и const, о с увел-ем σ макс-е значение уменьшается и кривая размазывается вдоль оси ОХ (кривая 2).
Если а=0, σ=1 – стандартное распределение (или нормальное). φ(х)= . От норм распределения с произ-ми а и σ к стандартному можно прийти с помощью замены:
..
При а=0 и σ – разных, кривая выглядит так:
Задача о вер-ти попадания в заданный интервал.
Покажем как используется нормальное распределение для нахождения вер-ти попадпния случ вел-ы в некоторый интервал. P(a<X<b)= , для этой ф-ции: P(α<X<β)=
– это интеграл неберущийся, вторая проблема состоит в том, что он будет разный для разных а и σ. Однако у нас есть правило стандартного распр-я к норм-му.
P(α<X<β)=P(α-a/σ<X-a/σ<β-a/σ)=F(β-a/σ)-F(α-a/σ).
Здесь F0(x)-ф-ция распределения для стандарт норм вел-ы.
…
Эта ф-ция табултрована, однако таблицу можно уменьшить вдвое, если Ф(Х)=F0(X)-1/2,
Ф(-Х)=-Ф(Х), Ф(Х)=φ – ф-ция Лапласа, y-1/2 –ассимптота.
Причем стремление к этой асимптоте достаточно быстрое: х>>3,5; Ф(Х)=0,5.
Т. о формула для нахождения вер-ти попадпния нормальной случ вел-ы в интервал симметричный от-но мат. ожидания.
Задача по абсолютному отклонению
Опр: абсолют отклонением от случ. Величины наз-ся: . Найдем вер-ть того P(
).
///ф-лы сзади///1
Для нахождения k эти вер-ти нужно задать. Вер-ть того, что абсолют отклон-я норм-го распр-я сл-ой вел-ы не превосходит некоторого предела, зваисит от того, во сколько раз этот предел больше стандарта, рассматриваемой вел-ы.
///формулы сзади///
Центральная предельная теорема
Широкая распространенность норм-го распределения в природе и технике оъясняется с помощью теоремы Ляпунова, носящее название центральной пред. теоремы. X=X1+X2+…+X/
Если сл
Уч. вел-а Х представляет сумму большого числа взаимно незав-х случ. вел-н, вклад в каждый из которых мал, то их сумма имеет распределение близкое к нормальному. Вспомним интегр теорему Лапласа: P(k1<X<k2)=Ф()-Ф(
). Эта теорема задает вер-ть того, ч то число наступлений события А биноминальной распределенной случ вел-ы нах-ся в некоторых пределах.
МХ=np , DX=npq. Оказывается что для больших n бином-е распред-е близко к норм-му: a=np, σ=npq.
20)Оценка отклонения теоретического распр-я от норм-го.
Ассиметрия. Эксцесс.
Теоретическим наз-ся распр-е от-но вер-тей, эмпирическим — распр-е отн-но частот.
При получении опытных данных мы всегда имеем дело с эмпирическим распр-ем.
Возникает вопрос: на сколько оно близко к теорет-у? Чаще всего этот вопрос решается для нормального распред-я путем сравнения. Вводятся некоторые хар-ки получаемые по опытным данным и сравн-ся с заданными заранее значениями.
Опр: Центр-й момент Mk=M[(x-MX)k];
Начальный момент Vk=M(Xk)
для к=1, v1=MX — матюожидание; k2=2, v2=DX – дисперсия – v2=2=DX, v1=1,
.
Для симметричных распр-й: нечетные центральные моменты равны 0, поэтому отличие от 0 центр-го нечетного моментам хар-т ассиметрию распред-я!
////графики сзади///
Для оценки крутости ассиметрии используется понятие эксцесса: Ек=() — з,
Ек>0 – круче нормальной,
Ек<0-криавя положе нормальной.
Каждый способ исследования распределений с помощью этих хар-к носит название критерия согласия!
21) Закон больших чисел.
Док-ть нерав-во Чебышева и теорема Чебышева.
Об 1 случ вел-е нельзя сказать сколько значений она примет в результате эксперимента; а о суммарном поведении большого числа сл. вел-ин можно сказать достаточно много. Важно знать условие, при которых совокуп-е действие многих случ величин приводит к рез-ту почти независящих величин. Эти условия формул-ся в законе БОЛЬШИХ ВЕЛИЧИН.
Первая из этих теорем – теорема Бернули— об отклонении частоты от вероятности – уже доказана: . Сейчас мы докажем наиболее точную теорему – теорему Чебышева. Нерав-во Чебышева.
Мы сформулируем его и докажем его для дискретных случ величин, хотя оно справедливо и для непрерывных в-н.
Вер-ть того, что отклонение случ вел-ны Х от ее МХ не превосходит ε, не < (1-) :
P([X-MX]<ε)≥1- .
Док-во: вер-ть того, что P([X-MX]<ε) = 1- P([X-MX]≥ε), оценим теперь дисперсию:
DX=p1(x1-MX)2+p2(x2-MX)2+…+pn(xn-MX)2
Отбросим слагаемые для которых [X-MX]<ε, DX=≥pk+1(Xk+1 — MX)2+ pk+2(Xk+2 — MX)2+…+ pn(Xn — MX)2≥ε2(pk+1+pk+2+…+pn).
Узнать стоимость за 15 минут
Распродажа дипломных
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Подпишись на наш паблик в ВК
Нужна работа?
Контрольная работа у наших партнеров