Расчетная работа по математической статистике

Расчетная работа по математической статистике

ПОДБОР ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ОПЫТНЫМ ДАННЫМ И ПРОВЕРКА ЕГО СОГЛАСИЯ ПО КРИТЕРИЮ

Задание для расчётно-графической работы.

I. Из приложения 1 или 2 взять выборку объёма n=150. Выборку произвести с использованием таблиц случайных чисел приложении 4 (или каким – либо другим методом, указанным преподавателем). Варианты индивидуальных заданий даны в приложении 3.

2. По выборке найти статические оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения ( и S ).

3. Построить гистограмму.

4. Подобрать закон распределения случайной величины (например: нормальный, показательный, равномерный).

5. Проверить согласие закона распределения с опытными данными по критерию при уровне значимости .

6. Теоретическую кривую нанести на гистограмму опытных данных.

Решение:

1)  Возьмем выборку:

2)  Упорядочим по возрастанию

1. Случайную величину обозначим X. Находим:

Возьмём h = 65 ч. Левый конец первого интервала возьмём 0,5 мк. Из приведённых значений найдём число опытных данных, попавших в каждый частичный интервал.

Полученные данные сведём в таблицу 1.

Таблица 1

2. построим гистограмму частот (рис1).

Рис. 1

3. Для каждого частичного интервала найдем по формуле:

Для удобства вычислений необходимые расчеты поместим в таблицу 2.

Таблица 2

Вычислим значения и S по формулам:

По виду гистограммы (рис.1) можно предположить, что исследуемый признак распределен по показательному закону распределения.

Проверка гипотезы о показательном распределении
В этом случае, разбив имеющуюся выборку на равные по длине интервалы, рассмотрим последовательность вариант , равноотстоящих друг от друга (считаем, что все варианты, попавшие в i – й интервал, принимают значение, совпадающее с его серединой), и соответствующих им частот ni (число вариант выборки, попавших в i – й интервал). Вычислим по этим данным  и примем в качестве оценки параметра λ величину . Тогда теоретические частоты вычисляются по формуле:
 
Затем сравниваются наблюдаемое и критическое значение критерия Пирсона с учетом того, что число степеней свободы k = s – 2 (здесь s – число интервалов, на которые разбита выборка).
   

4. Найдем теоретические частоты , попавшие в i – ый интервал, используя формулы

при :

41,9

33,4

14,1

19,7

16,3

5,6

3,3
8,7

1,03

Расчёт приведён в таблице 3.

Таблица 3

5. Проверку гипотезы о нормальном распределении проводим при уровне значимости

= 0,05 и числе степеней свободы Из таблицы (см. приложение 3) находим

В нашем примере , т. е. .

Следовательно, опытные данные согласуются с показательным законом распределения. На гистограмму наложим теоретическую кривую, полученную в соответствии с показательным законом распределения.