Рациональный корень нормализованного многочлена

этих чисел, мы узнаем, какие из них являются корнями, а какие нет.

Следствие 1: Если целое число т есть целый корень многочлена с целыми коэффициентами, то т является делителем свободного члена .

Доказательство: и по теореме 1 . ▲.

Следствие 2: Рациональный корень нормализованного многочлена с целыми коэффициентами является целым числом.

Доказательство: действительно, если — рациональный корень , то по теореме 1 старший коэффициент многочлена делится на , то есть или — целое число. ▲.

Вычисления, связанные с отысканием рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами могут оказаться громоздкими, потому что делителей у свободного члена и у старшего коэффициента многочлена может оказаться много; значит придется подвергать «испытанию на корень» много чисел вида .

Такие вычисления могут быть значительно сокращены, если воспользоваться следующей теоремой:

Теорема 2. Пусть рациональное число , где является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого числа т число .

Доказательство: разделим многочлен на многочлен с остатком, тогда по теореме Безу остаток будет равен значению многочлена при .

Пусть . Положим , учитывая, что — корень , а значит , получим: .

Умножим обе части этого равенства на , получим:

. ▲.

При использовании этой теоремы удобно в качестве т взять целые числа 1 и —1, так как легко вычислить и . Тогда, если — корень , то и . Покажем на примере, как применять теоремы 1 и 2:

Пример: Найти рациональные корни многочлена .

Делители свободного члена 2: делители старшего коэффициента 3: Следовательно, рациональные корни многочлена надо искать среди чисел

1 и не являются корнями . Для сокращения числа испытаний составим числа и . Если — корень , то оба этих числа должны быть целыми (Ц). Результаты запишем в таблице: