Учебные материалы по математике | Рациональный корень нормализованного многочлена | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Рациональный корень нормализованного многочлена


этих чисел, мы узнаем, какие из них являются корнями, а какие нет.

Следствие 1: Если целое число т есть целый корень многочлена с целыми коэффициентами, то т является делителем свободного члена .

Доказательство: и по теореме 1 . ▲.

Следствие 2: Рациональный корень нормализованного многочлена с целыми коэффициентами является целым числом.

Доказательство: действительно, если — рациональный корень , то по теореме 1 старший коэффициент многочлена делится на , то есть или — целое число. ▲.

Вычисления, связанные с отысканием рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами могут оказаться громоздкими, потому что делителей у свободного члена и у старшего коэффициента многочлена может оказаться много; значит придется подвергать «испытанию на корень» много чисел вида .

Такие вычисления могут быть значительно сокращены, если воспользоваться следующей теоремой:

Теорема 2. Пусть рациональное число , где является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого числа т число .

Доказательство: разделим многочлен на многочлен с остатком, тогда по теореме Безу остаток будет равен значению многочлена при .

Пусть . Положим , учитывая, что — корень , а значит , получим: .

Умножим обе части этого равенства на , получим:

. ▲.

При использовании этой теоремы удобно в качестве т взять целые числа 1 и —1, так как легко вычислить и . Тогда, если — корень , то и . Покажем на примере, как применять теоремы 1 и 2:

Пример: Найти рациональные корни многочлена .

Делители свободного члена 2: делители старшего коэффициента 3: Следовательно, рациональные корни многочлена надо искать среди чисел

1 и не являются корнями . Для сокращения числа испытаний составим числа и . Если — корень , то оба этих числа должны быть целыми (Ц). Результаты запишем в таблице:

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод