Проверка статистических гипотез

В результате доверительный интервал имеет вид ,определяется по таблице распределения Стьюдента на основании и числа степеней свободы n-1.

Так как при распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному, то при больших объемах выборки при нахождении можно пользоваться таблицей функции Лапласа.

.

29. Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения. Нулевой или основной называется выдвинутая гипотеза . Конкурирующей или альтернативной называется гипотеза H1, которая противоречит нулевой. Статистическим критерием называется случайная величина, которая служит для проверки гипотезы .

.При проверке статистических гипотез возможно возникновение ошибок. Ошибка первого рода возникает, когда мы отвергаем правильную нулевую гипотезу. Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости и обозначается : . Ошибка второго рода возникает, когда мы отвергаем правильную гипотезу . Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается : .

Величину ошибки первого и второго рода исследователь выбирает самостоятельно: 0,01; 0,05; 0,001. Отметим, что невозможно одновременно уменьшать ошибки первого и второго рода, так как речь идет об одних и тех же гипотезах. Значение статистического критерия, при котором принимают, называется областью принятия гипотезы.

.

30. Построение критической области.

Значения критерия, при которых гипотезу отвергают, называется критической областью. Точка, которая отделяет эти области, называется критической. Правосторонней называется критическая область, определяемая неравенством .

Левосторонней называется критическая область, определяемая неравенством .

Двусторонней называется критическая область, определяемая неравенством .

Проверка статистических гипотез осуществляется следующим образом:

1) по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия (Кнабл).

2) если Кнабл попало в критическую область нулевую гипотезу отвергают, а если в область принятия гипотезы, то H0 принимают

.

31. Критерий согласия Пирсона.

Одной из главных задач математической статистики является установление истинного закона распределения случайной величины на основании эксперементальных данных. На практике о виде закона распределения можно судить по графику гистограммы. Параметры закона распределения обычно неизвестны и их заменяют на выборочные значения. Однако как бы мы не выбрали вид закона распределения и его параметры, полной уверенности в том, что мы получим истинный закон распределения, к которому принадлежит имеющаяся у нас выборка, не существует. Поэтому вопрос может идти лишь о том, что на определенном уровне доверия выбранный нами закон согласуется с данными выборки. Критерий проверки гипотез о предполагаемом виде распределения называется критерием согласия. Наиболее распространенный из них – критерий согласия Пирсона или критерий .

Пусть вид распределения изучаемого признака Х неизвестен и пусть есть основание предполагать, что он распределен по некоторой функции теоретического распределения

На основании данных выборки построим интервальный ряд для этого:

1. Весь интервал наблюдаемых значений Х разделим на k частичных интервалов одинаковой длины. 2. Подсчитаем эмпирические частоты . 3. Затем для каждого интервала вычислим вероятности попадания случайной величины в построенные интервалы исходя из функции распределения . 4.Теоретические частоты вычислим по формуле .

Критерий Пирсона позволяет ответить на вопрос, значимо ли различаются теоретические и эмпирические частоты. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается величина . Можно доказать, что при закон распределения случайной величины (10.1) стремится к закону распределения . Поэтому случайная величина обозначается через , а сам критерий называют критерием согласия «хи-квадрат». Число степеней свободы равно , где k – число частичных интервалов выборки, r – число оцениваемых параметров. В частности, для нормального распределения оценивают 2 параметра (матожидание и среднее квадратическое отклонение), т. е. r = 2. Тогда

Проверим нулевую гипотезу, исходя из требований, что вероятность попадания критерия в правостороннюю критическую область равна принятому уровню значимости : P()=. Значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, обозначим через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Правило проверки нулевой гипотезы: Для того чтобы, при заданном уровне значимости проверить гипотезу H0: генеральная совокупность распределена по закону , надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости , и числу степеней свободы , найти критическую точку .Если , то нет оснований отвергнуть H0, следовательно, признак Х распределен по закону .