Промежутки времени. скорость и пройденный путь

Выполнимость всех аксиом опред-я ПСВ провер-ся аналог. случаю стоимости товара.

Каждый класс КТ назовём ценой товара t. Если товары t1,t2 Є одному классу, то будем говорить, что они имеют одинак-ю цену

¨  Выберем некот-й товар е и назовём его единич-ой ценой, или единицей цены.

¨  Число L назовём ценой товара е при единице товара, если t=Lе.

Стандартной ед-цы цены не сущ-ет. В нач. шк. рассматр-ся такие ед-цы цены как руб. за кг, за м, за шт.

20. Промежутки времени. Скорость и пройденный путь при равномерном прямолинейном движении. Зависимость м/д пройденным путём, скоростью и временем движ-я.

Понятие времени.

Опред-е скалярной величины для пройденного пути и скорости движ-я.

Время может измен-ся в 2-х направл-ях, а путь и скорость явл-ся векторными величинами, поэтому для этих величин не подходит опред-е ПСВ. Но т. к. в нач. шк. они рассматр-ся как величины изменяющиеся в 2-х направл-ях (% вверх-вниз, до пункта А, до пункта В и обратно), то к ним м. применить опред-е скалярной величины, !но не положительной. Это опред-е м. получить из опред-я ПСВ соответ-щим образом, уточнив некот-ые аксиомы.

Скалярной величиной наз. любой эл-т мн-ва G скалярных величин, в к-ом заданы отнош-я сравнения и операция слож-я, подчиняющиеся след-щим условиям:

1.  (Vа, в Є G) (а<вVа=вVа>в)-аксиома связанности

2.  (Vа, в,с Є G) (а<вΛв<с=>а<с) транзитивность отнош-я <

3.  (Vа, в Є G) (E! с Є G │а+в=с) существование сумм величин

4.  (Vа, в Є G) (а+в=в+а) коммунитативность сложения

5.  (Vа, в,с Є G) (а+(в+с)=(а+в)+с) ассоциативность сложения

6.  (Vа, в Є G, в>0) (а<а+в) монотонность сложения

7.  (Vа, в Є G) (E! с │а=в+с) возможность сложения

8.  (Vа Є G) (Vn ЄN) (Eв Є G │а=nв) возможность деления на целое число долей

9.  (Vа, в ЄG, а>0,в>0)(E nЄN)(а<nв) аксиома Евклида

10.Если послед-ть величин а1<а2<…<аn<…<вn<…<в2<в1 такова, что разности вn-аn бесконечно убывают при увеличении n, то найдётся единственный эл-т х , такой что вn< х <аn, Vn ЄN –аксиома непрерывности

Из А.7. =>сущ-е О, если а=в и противополож-го числа, если а=0.

Рассмотрим события А, В, С, Д.

Будем говорить, что промежуток времени м/д событиями А и В равен промежутку времени м/д событиями С и Д, если секундная стрелка часов пройдёт одинаковые кол-ва делений с момента соверш-я события А до момента соверш-я события В и с момента соверш-я события С до момента соверш-я события Д.

Данные отнош-я равентсва промежутков времени явл-ся отнош-ем эквив-ти и разбивают мн-во всех промежутков времени на классы равных промежутков времени.

К t— класс промежутков времени равных промежутку t.

М={К Т} –мн-во всех таких классов.

Будем говорить, что К Т1<К Т2, если за любой промежуток времени из К Т1 секундная стрелка проходит меньше делений, чем за любой промежуток времени из К Т2.

Будем говорить, что К Т1=К Т2 +К Т3, если за любой промежуток времени из К Т1 секундная стрелка проходит кол-во делений, являющихся суммой кол-в делений, проходимых секундной стрелкой за два промежутка из К Т3 и К Т2 вместе.

Убедимся в выполнимости аксиом опред-я скалярной величины

А.1. выпол-ся, т. к. за любые два промежутка секундная стрелка пройдёт либо равное кол-во деление, либо за один промежуток времени она пройдёт больше делений, чем за др.

А.2. выпол-е св-ва транзит-ти очевидно.

А.3. выпол-е очевидно, т. к. достат-но найти сумму кол-ва делений пройденных секундной стрелкой за два промежутка времени. При этом кол-во делений, пройденных секундной стрелкой коммут-но и ассоц-но, т. е. выпол-ся А.4 и 5.

Нулевым промежутком времени следует считать промежуток м/д равными событиями А и А. А.6. очевидна.

А.7. вомож-ть вычитания => из возмож-ти вычитания кол-ва делений, пройденных секундной стрелкой за меньший промежуток времени и из кол-ва делений, пройденных стрелкой за больший промежуток. А.9. аналог. объясн-ся

А.8 и 10. выпол-ть можно показать при наличии прибора, позволяющего измерять сколь угодно малые доли секунды.

Назовём каждый класс Кt временем.

Во мн-ве всех промежутков времени выберем некот-ый промежуток е, назовём его единичным, или единицей времени.

Число L назовём мерой времени промежутка t при ед-це времени е, если t=Lе. Стандартной ед. времени явл-ся 1 сек.

Понятие пути.

Рассмотрим две материальные точки: р и q. Пусть т.р переместилась из т.А в т.В, а т.q из т.С в т.Д.

Назовём т.р и q эквивал-ыми, если длина траектории т.р = длине траектории т.q.

Данные отнош-я разбивают мн-во всех матер-х точек на классы эквив-х точек.

КР–класс точек равных р. М={К Т} –мн-во всех таких классов.

Будем говорить, что Кр<Кq , если длина траектории любой т. из Кр меньше длины траектории произвольной т. из Кq.

Будем говорить, что Кр= Кq+КS, если длина траектории любой точки из Кр равна сумме длин траектории двух произвольных точек из Кq и КS.

Далее необходимо проверить выпол-е всех аксиом опред-я скаляр-ой величины, но т. к. понятие "пути" опред-ся ч/з понятие "длина", для к-ой все аксиомы опред-я выпол-ся, то подробно остан-ся на проверке не будем.

За нулевой путь м. принять путь неподвижной точки. Каждый класс Кр – это путь, пройденный т.р. Выбрав единич-й путь м. найти числовую меру этой величины.

Ед-цы измер-я пути совпадают с ед-цей измер-я длины.

Понятие скорости.

Рассмотрим движ-е матер-х точек р и q.

Назовём т.р и q эквив-ыми, если за ед-цу времени они проходят одинак-ый путь.

Пусть КР–класс точек равных р. М={К Т} –мн-во всех таких классов.

Будем говорить, что Кр<Кq , если любая точка из Кр за ед-цу времени проходит меньший путь чем произв-ая точка из Кq.

Будем говорить, что Кр= Кq+КS, если любая точка из Кр за ед-цу времени проходит путь равный сумме путей, проходимых за ту же ед-цу времени точками из Кq и КS.

Для того, чтобы убедиться, что скорость явл-ся скаляр-ой велич-ой нужно проверить выпол-е всех аксиом опред-я скаляр-ой величины. Но т. к. скорость опред-ся ч/з понятие пути, для к-го аксиома опред-я выпол-ся, то на проверке аксиомы для скорости м. не останав-ся. Каждый класс Кр назовём скоростью т.р.

Стандартной ед-цей измер-я скорости явл-ся 1 м/с.

21. Площадь фигуры, её основные св-ва. Способы измер-я площадей фигур. Единицы измер-я площади.

Аксиоматика скалярной величины, предложенная Н. Я. Виленкиным. О ед-цах измерения.

При рассмотрении таких величин как S-площадь и V-oбъем наиболее приемлемой явл-ся система аксиом, предложенная Виленкиным.

Пусть Ω некот-ое мн-во объектов, на к-ом задано отнош-е эквивал-ти L~ß и отнош-е L=βӨγ (L состоит из β и γ)

¨  Говорят, что на мн-ве Ω задана операция измерения, если сущ-ет взаимооднозн-ое соответ-е f: Ω→R+, к-ое каждому эл-ту LЄΩ ставит число m(L), называем. мерой L и при этом выпол-ет условие:

1. (V L,βЄΩ) (L~β =>m(L)=m(β)),т. е. экв-ые эл-ты имеют = меры.

2. . (V L,β,γЄΩ) (L=βӨγ, => m(L)=m(β)+m(γ)), т. е. если объект L состоит из объектов β и γ, то мера L = сумме мер β и γ.

¨  Ω наз. полем опред-я величины, если на нём задана операция измерения и 2 различные операции измерения m и m1 м. отличаться др. от др. лишь постоянным множителем, т. е.

Е сЄR, что (m(L)=сm1(L) (VLЄΩ)

Примером поля опред-я величины м. служить мн-во всех отрезков. В этом случае L~ß означает, что отр. L и ß равны;

Не трудно убедиться, что длина отр. удовл-ет опред-ю операции измерения и опред-ю поля опред-я величины. В этом случае каждому отр. ставится в соответ-ие число, равное его длине и любые 2 операции измер-я дают рез-ты, отличающиеся др. от др. лишь постоянным множ-лем.

Принцип измерения площади (S).

Выберем на плоскости 2 взаимно┴ прямые m, l и единич-й отр.е. Пусть в начале Ω – это мн-во всевозмож-х прямоуг-ков, стороны к-х ║выбранным прмямым m, l. При этом L~β означает, что прямоуг-ки L и β при наложении совпадают L=β и L=βӨγ означает, что прямоу.L состоит из прямоуг-ков β и γ ЄΩ