Производная функции комплексной переменной

7)  Логарифмическая W=Ln Z, z=ew

8)  Тригонометрические

определены однозначно и непрерывны во всех точках С

эти функции неограничены.

9)  Гиперболические

10) Обратные гиперболические и тригонометрические

11) Общая показательная функции

39. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Действительная и мнимая части аналитической функции.

Дифферинцирование функции комплексной переменной.

— однозначная функция в области D

Опр. Производной функции в т. z0 называеться число

, если lim

Опр. Функция называеться фифференц. в т. z0, если её приращение

Теор. Для того, что бы была дифферинцир. в т. z0 необходим. и достаточ.,

Чтобы в этой точке она имела производную, А=

Следствие: если функция дифферинцыр. в т. z0 ,то она непрерывна в т. z0

Опр. Пара функций, назыв. Удовлетворяющей условиям Коши-Риммана

В т.(x0,y0) если :

Теорема (Критерий производной)

Для того, что бы z=x+iy функция f(z)=u(x, y)+iv(x, y) имела производную необходимо, а

если u(x, y) и v(x, y) дифферин.,то и достаточно, выполнение в этой точке условий

Коши-Римана: Если производная , то

Док-во:

Необходимость:

поскольку это предел, то он

не зависит от способа

приблимжения к нулю

1.

Достаточность:

u, v – дифферинцир. выполняет. условие Коши-Римана

Опр. Дифферинц. функция f(z) называеться

анналитической в т. ,если такая окрестность

u(),в каждой точке кторой

Опр. Функция f(z) называется аналитической

в области D, если она аналитическая в каждой

точке этой области.

Опр. Т. в которой f(z) аналитична

называется правильной т. функции f(z)

Если фун. F(z) не аналитична или не определена

То — особая точка.

Пример:

Пусть f(z)-аналитич.

F(z)=u(x, y)+iv(x, y)

Частичных производ. u и v непрерывн.

-оператор Лапласа u – гармоническая функция

v-аналитическая

Если гармон. функции связаны условиями Коши-Римана, то они сопряжонные

40. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ функции комплексной переменной.

D опредалена однознач. и непрерывная f(z) (кусочно гладкая ориентиров. кривая )

Опр. Если ,который не зависит от способа разбиенря

Кривой z и от выбора точек ,то такой предел называеться от

f(z) по кривой l с заданной ориентацией и обозначается