Программа по линейной алгебре

Программа по линейной алгебре для студентов 1 курса ФЭС, ФУСИ, ФЭМ за 20122013 уч. год

Подмножество множества. Пересечение, объединение множеств. Сложение умножение рациональных чисел. Вектор, пространство Rn. Сумма векторов, свойства. Скалярное произведение векторов, свойства. Длина вектора, угол между векторами, ортогональность векторов. Линейная зависимость векторов. Теорема о линейно независимой системе векторов в Rn. Базис из векторов, ранг системы векторов. Разложение вектора в ортогональном базисе. Матрица: квадратная, единичная, диагональная. Сумма матриц, свойства. Транспонированная матрица. Умножение матриц, свойства. Определители матриц. Минор, алгебраическое дополнение. Теорема Лапласса. Свойства определителей (1 – 9). Обратная матрица, невырожденная матрица. Присоединенная матрица. Теоремы об обратной матрице. Ранг матрицы, свойства ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Теорема о связи ранга матрицы с ее элементарными преобразованиями.

Системы линейных уравнений, решение, совместные, несовместные системы, определенные, неопределенные системы уравнений. Теорема Крамера. Метод Гаусса (привести пример или свою систему из 3 уравнений с тремя неизвестными и решить ее методом Гаусса).

Система m линейных уравнений с n переменными, теорема Кронеккера – Капелли и другие теоремы (вместе со схемой). Теорема о системе линейных однородных уравнений. Фундаментальное решение. Теорема о фундаментальной системе решений? Общее решение, теорема об общем решении системы АХ=В.

Эллипс, каноническое уравнение, фокусы, эксцентриситет, определение.

Гипербола, каноническое уравнение, фокусы, эксцентриситет, определение, асимптоты.

Парабола, каноническое уравнение, фокусы, определение.

Общее уравнение плоскости, условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Поверхности второго порядка. Переход к новому базису. Собственные значения квадратной матрицы, характеристический многочлен. Теорема о собственных значениях.

Собственные векторы квадратной матрицы. Теорема о собственных векторах квадратной матрицы. Теорема о количестве собственных значений квадратной матрицы. Теорема о базисе из собственных векторов. Декартово произведение.

Упорядоченная пара, комплексные числа. Равенство, сумма, произведение двух комплексных чисел, свойства (1 – 9). Разность двух комплексных чисел, сопряженное комплексное число. Частное двух комплексных чисел. Полярная система координат, связь с декартовой системой координат. Тригонометрическая форма представления комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.

Профессор В. И. Филиппов