Программа курса по тфкп

Программа курса по ТФКП

Исторический обзор развития ТФКП.

Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Стереографическая проекция.

Последовательности и ряды комплексных чисел.

Кривые и области на комплексной плоскости.

Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функций комплексного переменного.

Дифференцируемость и голоморфность функции комплексного переменного.

Формальные производные, условия Коши-Римана.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения.

Сопряженные гармонические функции. Восстановление голоморфной функции по ее действительной или мнимой частям.

Степенные ряды в комплексной области.

Теорема Коши-Адамара. Голоморфность суммы степенного ряда.

Линейная функция. Дробно-линейная функция, ее геометрические свойства. Задание дробно-линейного отображения тремя парами точек.

Степенная функция с натуральным показателем.

Показательная функция и ее свойства.

Тригонометрические функции комплексного переменного и их связь с показательной функцией.

Многозначные функции. Логарифмы комплексных чисел и их свойства.

Логарифмическая функция.

Радикал, формула Муавра.

Понятие степени с произвольным показателем.

Интеграл в комплексной области, его свойства.

Теорема Коши для односвязных и многосвязных областей.

Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора.

Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора.

Неравенство Коши, теорема Лиувилля.

Нули голоморфной функции, их изолированность.

Теорема единственности голоморфных функций.

Принцип максимума модуля.

Ряды Лорана и их области сходимости. Разложение голоморфной в кольце функции в ряд Лорана.

Изолированные особые точки и их классификация. Связь вида ряда Лорана с характером особенности голоморфной функции.

Вычеты голоморфной функции и их вычисление.

Теоремы о вычетах и их применение к вычислению интегралов.

Логарифмический вычет. Основная теорема алгебры. Применение теории вычетов к вычислению интегралов специального вида.

ВОПРОСЫ

Для экзамена по математическому анализу

1.  Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация. Стереографическая проекция.

2.  Последовательности и ряды комплексных чисел. Сходимость последовательностей в С.

3.  Функции комплексного переменного. Рельеф функции.

4.  Дифференцируемость функции комплексного переменного. Формальные производные. Необходимость условий Коши-Римана.

5.  Достаточность условий Коши-Римана. Голоморфные функции.

6.  Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения.

7.  Сопряженные гармонические функции. Восстановление голоморфной функции по ее действительной или мнимой части.

8.  Степенные ряды в С. Формула Коши-Адамара.

9.  Голоморфность суммы степенного ряда.

10.  Линейная функция и ее свойства.

11.  Дробно-линейная функция и ее свойства.

12.  Степенная функция с натуральным показателем и ее свойства.

13.  Показательная функция и ее свойства.

14.  Тригонометрические функции и их свойства.

15.  Многозначные функции. Логарифмы комплексных чисел.

16.  Степень с произвольным показателем. Корень n-ой степени. Формула Муавра.

17.  Логарифмическая функция и ее свойства.

18.  Интеграл в комплексной области, его свойства.

19.  Интегральные теоремы Коши для односвязных и многосвязных областей.

20.  Интегральная формула Коши.

21.  Ряды Тейлора для голоморфных функций.

22.  Неравенства Коши. Теорема Лиувилля.

23.  Изолированность нулей голоморфных функций.

24.  Теорема единственности голоморфных функций.

25.  Принцип максимума модуля.

26.  Ряды Лорана, их области сходимости.

27.  Разложение функций, голоморфных в кольце, в ряд Лорана.

28.  Изолированные особые точки голоморфных функций и их классификация.

29.  Связь вида ряда Лорана с типом изолированной особой точки голоморфной функции.

30.  Теорема Сохоцкого.

31.  Вычеты и их вычисление.

32.  Теорема о сумме вычетов, о полной сумме вычетов.

33.  Логарифмические вычеты.

34.  Основная теорема алгебры.

35.  Применение теорем о вычетах к вычислению интегралов вида .

36.  Применение вычетов к вычислению определенных интегралов от тригонометрических функций и несобственных интегралов.

Тематика практических занятий.

На курс ТФКП по плану отводится 62 часа (36 – лекции, 26 – практические занятия).

Планом предусмотрено 2 контрольные работы (одна из них домашняя) и экзамен.

1.  Комплексные числа. Линии и области в С.

2.  Функции комплексного переменного. Рельеф функции. Дифференцируемость функций.

3.  Линейная и дробно-линейная функции.

4.  Элементарные функции.

5.  Решение уравнений в С.

6.  Степенные ряды.

7.  Контрольная работа.

8.  Интеграл в С.

9.  Интегрирование голоморфных функций.

10.  Ряды Тейлора.

11.  Ряды Лорана. Изолированные особые точки.

12.  Вычеты и их вычисление.

13.  Применение вычетов к вычислению интегралов.

Занятие №1.

Комплексные числа. Линии и области в С.

Основные вопросы теории:

1.  Комплексные числа. Арифметические операции над комплексными числами.

2.  Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел.

3.  Линии и области в С.

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Выделить действительные и мнимые части чисел

2.  Найти модули и главные значения аргументов чисел

3.  Доказать равенство

4.  Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам

а) 

б) 

в) 

5.  Вычислить углы треугольника с вершинами в точках

6.  Какие линии заданы уравнениями

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

По теме занятия рекомендуется самостоятельно решить задачи:

№ 4, 6, 11, 14, 105, 111, 118, 131

Занятие №2.

Функции комплексного переменного. Рельеф функции. Дифференцируемость функций.

Основные вопросы теории:

1.  Определение функции комплексного переменного. График функции, рельеф функции.

2.  -дифференцируемость и С-дифференцируемость функции. Формальные производные. Условия Коши-Римана. Правила вычисления производной.

3.  Голоморфность функции.

4.  Гармонические функции. Сопряженные гармонической функции.

5.  Восстановление голоморфной функции по ее действительной или мнимой части.

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Выделить действительную и мнимую часть функции

2.  Найти множество точек Z, в которых функция принимает действительные значения

3.  Выяснить, существует ли производная в каких-либо точках плоскости функции , и, если да, то вычислить эту производную

4.  Доказать, что если голоморфная в области D функция принимает только действительные или только мнимые значения, то она постоянна.

5.  Существует ли голоморфная функция, мнимая часть которой

По теме занятия рекомендуется самостоятельно решить задачи:

№ 148, 151, 177, 180, 190, 201 (а, е, г).

Занятие №3.

Линейные и дробно-линейные функции.

Основные вопросы теории:

1.  Линейная функция и ее свойства.

2.  Дробно-линейная функция. Геометрические свойства дробно-линейной функции (круговое свойство, сохранение симметрии точек, конформность отображения).

3.  Задание дробно-линейной функции тремя парами точек.

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Найти линейную функцию с неподвижной точкой , отображающую в .

2.  Найти образы прямых х=а, у=b при отображении

3.  Найти образ окружности при отображении

4.  Найти образ множества при отображении

5.  Найти точку, симметричную точке относительно окружности

6.  Найти дробно-линейное отображение, переводящее точки в точки

7.  Найти дробно-линейную функцию, отображающую единичный круг на верхнюю полуплоскость .

8.  В какую область функция преобразует левую полуплоскость? Какие линии при этом переходят в окружности с центром в начале координат?

9.  Найти общий вид дробно-линейной функции, преобразующей верхнюю полуплоскость в единичный круг, и притом так, чтобы точка перешла в центр круга.

По теме занятия рекомендуется самостоятельно решить задачи:

№ 211, 212, 224, 230, .

Вопросы и упражнения для самопроверки к занятиям 1-3.

1)  Как геометрически интерпретируются операции сложения и вычитания комплексных чисел?

2)  Вывести формулу связи между координатами точек комплексной плоскости при стереографической проекции.

3)  Сформулировать правило вычисления степеней числа с натуральным показателем.

4)  Выяснить, какими должны быть коэффициенты многочлена , чтобы для любых комплексных чисел z имело место равенство:

а) 

б) 

5)  Изобразить на плоскости множества точек, удовлетворяющих неравенствам:

а) 

б) 

6)  Охарактеризовать два способа (с использованием частных производных от действительной и мнимой части функции и формальных производных от этой функции).

7)  Восстановить голоморфную в С функцию по ее вещественной части

8)  Композицией каких геометрических преобразований плоскости являются линейное и дробное-линейное отображения?

9)  Может ли дробно-линейное отображение иметь неподвижные точки? Привести примеры.

10)  Найти образ множества при отображении

11)  Образует ли множество дробно-линейных отображений плоскости группу преобразований? Какое это имеет значение?

12)  Как понимается симметрия точек на плоскости относительно прямой, окружности? Каков алгоритм построения точек, симметричных относительно прямой, окружности?

Занятие №4.

Элементарные функции.

Основные вопросы теории:

1.  Степенная функция с натуральным показателем.

2.  Показательная функция

3.  Тригонометрические функции

4.  Логарифмы комплексных чисел и их свойства.

5.  Логарифмическая функция.

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Найти образ множества при отображении

2.  Найти образ прямой х=1 при отображении

3.  Записать в алгебраической форме значения функции в точках

4.  Найти все значения z, при которых — действительное число.

5.  Доказать:

6.  Найти

7.  Вычислить .

8.  В каких точках отображения имеют постоянный коэффициент растяжения, равный К, и угол поворота, равный α ?

9.  Построить график функции .

10.  Найти образ полуполосы при отображении . Сделать чертеж.

11.  Около 400 лет тому назад голландский ученый Меркатор предложил следующий способ построения географических карт. Земную сферу отображают на плоскость стереографической проекцией, а затем плоскость подвергают отображению . Какие линии будут изображать на карте Меркатора параллели и меридианы, в частности, экватор и нулевой меридиан?

По теме занятия рекомендуется самостоятельно решить задачи:

№ 235, 250, 261, 262(а), 267(в), 273, 276(д, е), 277.

Занятие №5.

Решение уравнений С.

Основные вопросы теории:

1.  Многозначные функции. Вычисление корня n-ой степени. Формула Муавра.

2.  Степень с произвольным показателем.

3.  Обратные тригонометрические функции.

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Найти все значения корня и построить их:

2.  Найти все значения степеней:

3.  Решить уравнения:

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

е) 

4.  Может ли при возведении мнимого числа в иррациональную степень получиться действительное число?

5.  Можно ли число 1 возвести в такую степень, чтобы получить 100?

6.  Как располагаются на комплексной плоскости значения степени , если b — чисто мнимое число?

7.  Вычислить . Есть ли среди найденных значений действительные числа?

По теме занятия рекомендуется самостоятельно решить задачи:

№ 263, 264, 268(а), 295, 304, 308.

Занятие №6.

Степенные ряды.

Основные вопросы теории:

1.  Определение степенного ряда. Область сходимости степенного ряда.

2.  Теорема Коши-Адамара. Радиус и круг сходимости степенного ряда.

3.  Почленное дифференцирование рядов.

4.  Геометрический ряд.

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Найти область сходимости рядов:

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

е) 

2.  Используя геометрический ряд, разложить в степенной ряд в окрестности функции . Найти радиус сходимости полученных рядов.

3.  Разложить в степенной ряд в окрестности функции .

4.  Используя возможность почленного дифференцирования степенного ряда, вычислить сумму ряда .

По теме занятия рекомендуется самостоятельно решить задачи:

№ 334, 336, 338, 340, 341, 346, 347, 348, 381, 393.

Занятие № 7.

Контрольная работа.

Примерные варианты контрольной работы по темам занятий №№ 1-6 содержится в Приложении 1 (с. 28, задачи 1-6).

Занятие № 8.

Интеграл в С.

Основные вопросы теории:

1.  Гладкие и кусочно-гладкие кривые, односвязные и многосвязные области в С.

2.  Определение криволинейного интеграла и его свойства.

3.  Применение криволинейного интеграла к вычислению площадей. Формула Грина.

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Вычислить интегралы по определению:
а) ;
б) , Г – радиус-вектор точки 2-i;
в) 4dz, Г={z ∈ С| |z|=1, 0 ≤ arg z ≤ π};

2.  Пусть Г – замкнутая кривая, ограничивающая фигуру площади S (гладкая). Используя формулу S= , доказать равенства:
а)
б) ;
в) ;

По теме занятия рекомендуется самостоятельно решить задачи:

№№ 352, 353, 358.

Занятие № 9.

Интегрирование голоморфных функций.

Основные вопросы теории:

1.  Интегральная теорема Коши для односвязных областей.

2.  Обобщение интегральной теоремы Коши на случай многосвязных областей.

3.  Интегральная формула Коши.

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Вычислить интегралы:
Г – радиус-вектор точки 2. Зависит ли величина интегралов от формы пути интегрирования: А от направления?

3.  Вычислить интегралы:
а) ;
б);
в) ;
г) , Г={z ∈ С| |z|=2, Im z≥0} {z ∈ С| |Re z|≤2, Im z=0, |Re z|≤2} ;
д) ;

е) ;
ж) ;
з) ;
и) ;
к) ;

По теме занятия рекомендуется самостоятельно решить задачи:

№№ 365, 366, 368, 371, 376.

Занятие № 10.

Ряды Тейлора.

Основные вопросы теории:

1.  Теорема о разложении голоморфной функции в степенной ряд.
Ряды Тейлора. Интегральные и дифференциальные формулы для коэффициентов ряда Тейлора.

2.  Неравенства Коши. Теорема Леувилля.

3.  Ряды Тейлора для основных элементарных функций (показательной, тригонометрических, логарифмических).

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Непосредственным вычислением коэффициентов найти разложение в ряд Маклорена функции w=cos t.

2.  Разложить в ряд Маклорена в окрестности z0 = функцию w = sin t.

3.  Найти первые 4 члена разложения в ряд Маклорена функций:
а) w=;
б) w=;
в) w=ln(1+);

4.  Разложить в ряд Маклорена функции:
а) w=;
б) w=sin²z;

5.  Вычислить интегралы:
а) dz;
б) ;

6.  Разложить в ряд Маклорена функцию
w= , доопределив ее в точке z=0.

По теме занятия рекомендуется решить задачи:

№№ 385, 386, 390, 395, 399.

Занятие № 11.

Ряды Лорана. Изолированные особые точки голоморфной функции.

Основные вопросы теории:

1.  Ряд Лорана. Правильная и главная часть ряда Лорана. Область сходимости ряда Лорана.

2.  Теорема о разложении голоморфных в кольце функций в ряд Лорана.

3.  Изолированные особые точки голоморфной функции и их классификация (устранимые особые точки, полюсы, существенно-особые точки).

4.  Связь вида ряда Лорана с типом изолированной особой точки.

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Найти область сходимости рядов Лорана:
а) ;
б) ;

2.  Разложить в ряд Лорана в кольце {z |1 < |z| < 2 } функции:
а) f(z)=;
б) f(z)=;
в) f(z)=z;
г) f(z)=z²cos;

3.  Разложить в ряд Лорана в кольце {z |1 < |z-1| < 2 } функцию f(z) = ;

4.  Найти изолированные особые точки и определить их вид:
а) f(z)= ;
б) f(z)= ;
в) f(z)= ;
г) f(z)= ;
д) f(z)= ;

По теме рекомендуется самостоятельно решить задачи:

№№ 433, 438, 440, 444, 446, 448, 450, 463, 466.

Занятие № 12.

Вычеты и их вычисление.

Основные вопросы теории:

1.  Определение вычета функции в точке.

2.  Вычисление вычетов в изолированных особых точках. Связь вычета с коэффициентом C-1 в ряде Лорана.

3.  Вычет в бесконечности.

4.  Основная теорема о вычетах.

5.  Теорема о полной сумме вычетов.

6.  Логарифмический вычет.

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Выяснить характер всех особых точек и вычислить в них вычеты для функций:
а) f(z)= ;
б) f(z) = ;

2.  Найти вычеты во всех изолированных особых точках функции и в бесконечности:
а) f(z)= ;
б) f(z)=;
в) f(z)= ;
г) f(z)= ;
д) f(z)=;
е) f(z)= zcos²;
ж) f(z)= ;
з) f(z)= ;
и) f(z)= .

3.  Вычислить логарифмический вычет в точке z0 = -2 функции
f(z) = ;

По теме занятия рекомендуется самостоятельно решить задачи:

№№ 460, 472, 476, 482, 520, 521, 522, 526, 534, 576.

Занятие № 13.

Применение вычетов к вычислению интегралов.

Основные вопросы теории:

1.  Применение основной теоремы о вычетах и теоремы о полной сумме вычетов к вычислению интегралов.

2.  Вычисление интегралов вида dz ;

3.  Вычисление несобственных интегралов 1 рода в действительной области.

На занятии рекомендуется решить задачи:

1.  Вычислить интегралы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) ;

2.  Вычислить несобственные интегралы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;

3.  Вычислить интеграл: ;

По теме занятия рекомендуется самостоятельно решить задачи:

№№ 538, 543, 547, 561, 565.

Приложение №1.

Контрольные задания по курсу ТФКП.

Задание 1. Выполните указанные действия над комплексными числами (Табл. 1).

Таблица 1.

Задание 2.

а)  Построить фигуру на плоскости, определяемую данными неравенствами. Границы, принадлежащие фигуре, изобразить сплошными линиями, не принадлежащие – пунктирными.

б)  Найти образ множества D при отображении , изобразить D и его образ (табл. 2).

Таблица 2.

Задание 3. Вычислить значения данных функций при указанных значениях аргумента z (табл.3).

Таблица 3.

Задание 4. Выяснить, в каких точках комплексной плоскости функция имеет производную, и вычислить ее (табл. 4).

Таблица 4.

Задание 5. Проверить, является ли функция действительной (или мнимой) частью голоморфной функции и, если да, найти эту функцию (табл.5).

Таблица 5.

Задание 6. Найти область сходимости степенного ряда (табл.6).

Таблица 6.

Задание 7. Вычислить криволинейный интеграл от функции f(z) по кривой Г по определению (табл. 7).

Задание 8. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана с центром в точке z0, найти область сходимости полученного ряда (табл. 8).

Задание 9. Для функции f(z)найти все её изолированные особые точки, определить из тип и найти вычеты в них (включая бесконечно удалённую точку) (табл. 9).

Задание 10. Вычислить интеграл по указанному замкнутому контуру Г (табл. 10).

Задание 11. Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов (табл. 11).

Список рекомендуемой литературы.

1.  Балк М. Б. и др. Задачник-практикум по теории аналитических функций. –М.:Просвещение, 1976. – 136 с.

2.  Волоковысский М. И. и др. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. – М. Наука, 1970. – 320 с.

3.  Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного пременного. – М.: Наука, 1973. – 736 с.

4.  Маркушевич А. И., Маркушевич Л. А. Введение в теорию аналитических функций. – М.:Просвещение, 1977. – 320 с.

5.  Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. –М.:ГИФМЛ,1961. – 335с.

6.  Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. –М.:Физматгиз, 1960. – 444с.

7.  Сборник задач по теории аналитических функций: Под ред. Евграфова М. А..-М:Наука, 1971.

8.  Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексного переменного. –М.:Наука, 1967. – 304с.

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, часть 1.-М.:Наука, 1976, — 320 с.