Программа экзамена по дифференциальным уравнениям

Программа экзамена по дифференциальным уравнениям за III семестр, ПМИ, Мех-мат

Лекция №1

Обыкновенное дифференциальное уравнение Порядок дифференциального уравнения Решение дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной Линейное дифференциальное уравнения n-го порядка Система обыкновенных дифференциальных уравнений Нормальная система Задача Коши Краевые условия Геометрическая интерпретация задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка. Поле направлений Интегральная кривая

Лекция №2

Неявная функция Теорема о существовании неявной функции Уравнения с разделяющимися переменными Теорема о существовании решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными на отрезке Однородное дифференциальное уравнение первого порядка Теорема о единственности локального решения однородного дифференциального уравнения Однородная функция порядка m. Утверждение

Лекция №3

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка Однородное дифференциальное уравнение первого порядка Теорема об общем решении линейное дифференциального уравнения первого порядка и его единственности на отрезке Дифференциал функции Уравнение в полных дифференциалах Теорема критерий уравнения в полных дифференциалах Теорема критерий существования решений Теорема о единственности локального решения задачи Коши для уравнения в полных дифференциалах

Лекция №4

Интегрирующий множитель Теорема об интегрирующем множителе, зависящем только от x Задача Коши для нормальной системы Условие Липшица Теорема о функции с непрерывными частными производными, удовлетворяющей условию Липшица

Лекция №5

Теорема о единственности решения задачи Коши на отрезке, функции, удовлетворяющей условию Липшица (7 замечаний)

Лекция №6

Теорема о единственности решения задачи Коши, определенного на всем отрезке, для частного случая (замечание 2) Теорема о равносильности задачи Коши задаче Коши для некоторой нормальной системы (замечание 3)

Лекция №7

Замечание 4 Замечание 5 Теорема о задаче Коши, равносильной векторной задаче Коши Замечание 6 Замечание 7 Пример Теорема о непрерывности производных решений и их гладкости Теорема о непрерывности функции, являющейся решением задачи Коши, удовлетворяющей условиям Липшица

Лекция №8

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка Линейное однородное уравнение Линейный дифференциальный оператор n-го порядка Теорема о свойствах линейного дифференциального оператора (аддитивность, однородность, линейность) Теорема о решениях линейного однородного уравнения Теорема о решении линейного дифференциального уравнения Линейная независимость системы функций Линейная зависимость системы функций Примеры 1, 2 Определитель Вронского Теорема об определителе Вронского линейно зависимой системы. Теорема критерий линейно независимой системы решений Фундаментальная система решений Теорема о существовании фундаментальной системы решений

Лекция №9

Теорема об однозначности определения уравнения своей фундаментальной системой решений Теорема о единственности существования уравнения для фундаментальной системы решений Лемма о представлении для определителя Теорема формула Остроградского-Лиувилля Общее решение неоднородного уравнения Теорема о виде общего решения

Лекция №10

Теорема Метод Лагранджа (вариации произвольных постоянных) Теорема дифференцирование экспоненты в случае комплексного показателя Теорема Критерий наличия решения в виде функции eλ0x Лемма о линейной независимости системы степеней: 1, x, x2, …, xm Лемма о линейной независимости системы экспонент

Лекция №11

Корень характеристического многочлена кратности m Лемма о линейной независимости системы экспонент Метод Эйлера, случай 1 Метод Эйлера, случай 2. Теорема. Утверждение о переходе к действительным корням Метод Эйлера, случай 3. Теорема о решении уравнения, при кратном корне характеристического многочлена Лемма о перестановке порядка суммирования Теорема о существовании частных решений (метод неопределенных коэффициентов)

Лекция №12

Теорема принцип суперпозиции Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка. Примеры. Собственное значение краевой задачи. Теорема свойства собственных значений краевой задачи

Лекция №13

Теорема о неотрицательности собственных значений Ортогональные вещественные функции Теорема об ортогональности вещественных собственных функций Теорема 1 о равносильности задачи Коши интегральному уравнению

Лекция №14

Теорема 2 Теорема 3 об асимптотической формуле Теорема 4 Теорема 5 об асимптотической формуле. Следствие Теорема 6 о существовании собственных значений

Лекция №15

Функция Грина краевой задачи (4 условия) Теорема о существовании и единственности функции Грина для краевой задачи с тривиальным решением Теорема о представлении единственного решения задачи, краевая задача которой имеет только тривиальное решение