Признак лейбница

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов дан-

ного ряда

Теорема

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Доказательство

Поскольку ряд(2) сходится, то в силу критерия Коши для

Любого cуществует такой номер N=N(),что при всех n>N и любом целом р

ВЫПОЛНЯЕТСЯ НЕРАВЕНСТВО

Так как

То

. Это означает, что ряд (1) также сходится.

Замечание

Из сходимости ряда (1) не следует сходимость ряда (2) . Например, ряд

cходится, а ряд из модулей его членов расходится (гармонический ряд).

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов. Например, ряд

Является абсолютно сходящимся, поскольку сходится ряд из модулей его членов, т. ею ряд

(геометрическая прогрессия со знаменателем q=0,5,[q]<1).

Знакопеременный ряд наз. неабсолютно сходящимся (условно сходящимся),если он сходится, а ряд из модулей его членов расходится. Например, ряд

Является неабсолютно сходящимся (см. замечание).

68.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любых два члена с номерами n и n+1 (n=1, 2, 3,……) имеют противоположные знаки, т. е. ряд вида

Где аn›0 (n=1, 2, 3,…)

Теорема (признак Лейбница)

Знакочередующий ряд сходится, если модули его членов убывают с возрастанием n и общий член стремится к нулю, т. е.

аn+1‹аn (n=1, 2, 3,…)

2

и

=0 3

Доказательство

Рассмотрим частичные суммы ряда с четными и нечетными номерами:

S2m=a1-a2+a3-…+a2m-1-a2m,

S2m+1= a1-a2+a3-…a2m-1-a2m+a2m+1

Преобразуем первую из этих сумм:

S2m= (a1-a2) + (a3-a4) +…+ (a2m-1-a2m),

S2m= a1 – (a2-a3) – (a4-a5) -…- (a2m-2-a2m-1) –a2m.

В силу условия разность в каждой скобке положительна, поэтому S2m›S2m-2 и S2m‹a1 для всех m. Итак, последовательность четных частичных сумм {S2m} является монотонно возрастающей и ограниченной. Она имеет предел, который обозначим через S, т. е. . Поскольку S2ь+1=S2m+a2m+1, то, принимая во внимание предыдущее равенство и условие, получаем

Итак, последовательности частичных сумм данного ряда соответственно с четными и нечетными номерами имеют один и тот же предел S. Отсюда следует, что последовательность всех частичных сумм ряда имеет предел S;, т. е. ряд сходится.

Пример

Исследовать сходится ли ряд

+…. 4

Этот ряд явл. Знакочередующимся. Он сходится, поскольку удовлетворяет условиям теоремы

<

Оценка остатка знакочередующегося ряда определяется с помощью следующей теоремы.

Теорема

Сумма остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак первого оставшегося члена и не превосходит его по модулю.

Доказательство

Рассмотрим остаток ряда (1) после 2m членов. Пусть – его сумма,

r2m=a2m+1-a2m+2+a2m+3-a2m+4+a2m+5-….,

2n= (a2m+1-a2m+2)+(a2m+3-a2m+4)+…..+(a2m+2n-1 -a2m+2n),

2n= a2m+1-(a2m+2-a2m+3)-…..-a2m+2n,

Так как выполнены условия теоремы Лейбница, то 2n>0 и

2n<a2m+1 при всех n, т. е. 0<2n<a2m+1 (n=1,2,3,….)

Откуда

Или r2m2m+1

Аналогично доказывается, что сумма

R2m-1 остатка ряда после 2m-1 членов (r2m-1=-a2m+a2m+1-a2m+2+a2m+3-….) удовлетворяет условиям

0<-r2m-1<a2m, т.е. r2m-1<0 [r2m-1]

Следовательно, независимо от четности или нечетности n

[rn]an+1

69.Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда

Ряд вида а0 + а1 х + а2 х2 + … аn хn + … = (1) называется степенным рядом,

а – некоторые числа, х – переменная.

Коэффициентами степенного ряда называются числа а0 , а1 , … , аn

Пример:1+х+х2 + …+ хn + … = — степенной ряд, все его коэффициенты равны 1.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений переменной х, при которых соответствующий числовой ряд сходится. Степенной ряд в предыдущем примере является бесконечной суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем х. Его частичная сумма S = . Эта сумма имеет конечный предел при │х│< 1. Поэтому областью сходимости исходного ряда является интервал (-1; 1).

Теорема Абеля а)Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении х=х0≠0, то он сходится

Абсолютно при всех значениях х , таких что │х│< │х0│

б)Если степенной ряд (1) расходится при х = х1 , то он расходится при всех значениях х, таких что │х│> │х1│.

70. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть функция у = f (х) определена в некоторой окрестности точки х и имеет в ней производные до порядка n +1 включительно. Тогда для всякого х из этой окрестности справедливо равенство

f(x)= f(x0 )+

Где с – некоторая точка из интервала (х, х )

Формулой Тейлора для функции f(x) в окрестности точки х называется многочлен

Рn (х) = f(х0 ) +

Остаточным членом формулы Тейлора называется последнее слагаемое в формуле Тейлора

Rn (x)= = f(x) – Pn (x)

Таким образом, многочлен Тейлора Рn (х ) служит приближением функции f(х). Оценкой этого приближения служит остаточный член формулы Тейлора Rn (х ).

Формулой Маклорена для функции f(х) называется ее формула Тейлора при х0 = 0:

f(x)= f(0) +

где с – некоторая точка из интервала (0, х).