Приводимые и неприводимые многочлены

ВОПРОС № 8 Приводимые и неприводимые многочлены. Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители над произвольным полем.

Пусть — кольцо многочленов одной переменной с коэффициентами из поля . Как известно, любой многочлен делится на любой элемент , отличный от

нуля и на многочлены

Такие делители называются тривиальными делителями многочлена .

Опр.1. Многочлен положительной степени из кольца называется неприводимым над полем Р, если имеет только тривиальные делители в кольце .

Опр.2. Многочлен положительной степени называется приводимым над полем Р, если имеет в кольце делители, отличные от тривиальных.

Если вспомнить определение делимости многочленов, то можем сказать, что многочлен положительной степени называется приводимым над полем Р, если

.

То есть разложен в произведение двух многочленов положительной степени.

А многочлен, неприводимый над Р, в виде такого произведения представлен быть не может.

Отметим, что понятие неприводимого многочлена существенно привязано к полю. Один и тот же многочлен может быть неприводим над некоторым полем, а над другим — приводим.

Например, многочлен — приводим над и неприводим над .

Отметим основные свойства неприводимых многочленов.

1) Любой многочлен первой степени из кольца неприводим над Р.

Доказательство: (от противного) Пусть — первой степени — приводимый над полем Р. Тогда имеет нетривиальные делители, т. е.

Тогда . . Значит — неприводим над Р. ▲.

2) Любой многочлен кольца либо взаимно прост с неприводимым над Р многочленом , либо делится на .

Доказательство: Пусть . Обозначим . Тогда

тривиальный делитель многочлена , то есть либо , где , ; либо .

Если , то — взаимно просты.

Если , тогда . ▲.

3) Любые два неприводимых над полем Р многочлена либо взаимно просты, либо ассоциированы.

Доказательство: Так как — неприводим, то по свойству 2 либо взаимно просты, либо .

Если , то т. к. — неприводим, то — тривиальный делитель многочлена . Но неприводим, поэтому положительной степени , где , ассоциированы. ▲.

4) Если произведение двух многочленов кольца делится не неприводимый над Р многочлен , то хотя бы один из сомножителей делится на .

Доказательство: Пусть и .

Если , то всё доказано.

Если , то по свойству 2, взаимно просты, а тогда по свойствам взаимно простых многочленов .

Следствие свойства 4: Если произведение нескольких многочленов делится на неприводимый многочлен кольца , то хотя бы один из сомножителей делится на этот неприводимый многочлен. (Доказывается методом математической индукции).

5) Каждый многочлена кольца степени делится хотя бы на один неприводимый над Р многочлен.

Доказательство: Индукцией по степени п многочлена .

1) Если , т. е. — многочлен первой степени, то он неприводим и делится на себя.

2) Допустим, что для всякого многочлена степени, меньшей чем п, теорема верна, т. е. всякий многочлен степени, меньшей чем п, делится на неприводимый многочлен.

3) Докажем утверждение для многочлена степени п. Если неприводим, то делится на себя и всё доказано.

Если — приводим, то

По индуктивному предположению, делится на некоторый неприводимый многочлен , а тогда имеем: . ▲.

Роль неприводимых над полем Р многочленов усматривается из следующей теоремы:

Теорема. Любой многочлен из кольца степени может быть представлен в виде произведения неприводимых над полем Р многочленов и такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности.

Доказательство: 1. Существование разложения докажем индукцией по степени п многочлена.

1) Многочлены первой степени неприводимы над Р и разложение для многочлена первой степени тривиально.

2) Допустим, что утверждение справедливо для всех многочленов степени k, меньшей п.

3) Докажем утверждение для многочлена степени п. Если неприводим, то всё доказано.

Если — приводим, то

Тогда, по индуктивному предположению, могут быть представлены в виде произведения неприводимых многочленов: ;

.

Следовательно, и разложение для получено.

2. Единственность разложения докажем индукцией по степени п многочлена.

1) Для многочленов первой степени утверждение справедливо, т. к. они неприводимы над Р.

2) Допустим, что утверждение справедливо для всякого многочлена степени .

3) Докажем утверждение для многочлена степени п. Допустим, что имеются 2 разложения многочлена на неприводимые многочлены:

и