Приводимые и неприводимые многочлены

(пусть q1 p1, q1-простое число, p1≠1)=> q1=p1, p1p2..pk=p1q2..qm

Разделим на р1: р2р3..рк=q2q3..qm = n1 u n1<n, n1>1. Значит, для числа n1 единственность имеет место. Сл-но, к = m и простые числа отл-ся от только порядком следования. Значит, утв-ие верно и для числа n. Замечание: среди сомножителей в разложении числа n=p1 p2… pk могут быть равные сомножители, их принято записывать в виде степеней. Пусть p1 p2 …pm –различные пр. сомножители в разложении числа n.

Пусть pi входит в разложение αi раз, (i=1…m)тогда n=. Множители р1,..рm обычно располагаются в порядке возрастания. Такое разложение числа наз. каноническим разложением.

Пример: найти канон. разложение числа 1176

Применение основной теор. арифметики: Если есть каноническое разложение 2-х натур. чисел, то можем считать, что эти разложения состоят из одинаковых простых сомножителей, если мы добавим сомножитель вида p0.

Например:24=233 140=2257 |=►

24= 23 3 50 70

140= 22 5 7 30

Теорема:

Пусть даны канонич. представления натуральных чисел n u m. n=. , m=. .

Тогда (n, m)=., где =min(), . , где , где i=1…k.

Пример:

Вопрос 8. Приводимые и неприводимые многочлены. Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители над произвольным полем.

Пусть P[x]-кольцо мн-ов одной перем-ой с коэф-ми из поля Р. Как изв-но, любой мн-н f(x) P[x] дел-ся на эл-т с P, отличный от 0 и на мн-ны сf(x) (т. к.Р-поле, то . Тогда f(x)=.

f(x)=). Такие делители наз-т тривиальными.

Опр.1: fP[x] наз-ся неприводимым над полем Р ó1. cт. f >0; 2. f имеет только тривиальные делители в кольце P[x].

Опр.2: fP[x] наз-ся приводимым в поле Р ó1. cт. f >0; 2. f имеет делители, отличные от тривиальных, т. е. f можно представить в виде произ-ия двух мн-ов gk, где g, k P[x]; 0< ст. g < ст. f ; 0< ст. k < ст. f

Замечание: Понятие неприводимого мн-на тесно связано с полем, например, f(x) = x2 – 2

1.  f(x)= x2-2 Q[x] неприводим в поле Q.

2.  f(x)= x2-2 R[x] приводим в поле R, т. к.

x2-2 = (х —)(х +) ; х —; х + R

Св-ва неприводимых мн-ов:

1. Любой мн-н 1-ой ст. из кольца P[x] неприводим над Р.

Док.: (от прот.) , f-1-ой ст. –привод. над полем Р. Тогда f имеет нетр. делит., т. е. . Тогда 1= ст.=ст.+ст. — противор-ие-неприводим.

2. f, hP[x], h – неприводим в Р => fh или (f, h)=1.

Док-во: Пусть (*) D = (f, h)=>hD; h – неприводим в Р =>D — тривиальный делитель h, т. е. D=с или D= сh, Если D=с, то f и h вз. просты. Если D = сh, тогда fD = φγh =>f = γhφ = h(φγ)=>fh.

3. h1, h2 – неприводимы в Р мн-ны. => (h1, h2)=1 или h1 и h2 – ассоциированы.

Док-во: h1Р[x]; h2 – неприводим => (h1, h2)=1 — доказано или h1h2 и h1 – неприводим =>(по св-ву 1) h1h2 , h2h1.=> h1 ассоциирован с h2.