Приводимые и неприводимые многочлены
(пусть q1 p1, q1-простое число, p1≠1)=> q1=p1, p1p2..pk=p1q2..qm
Разделим на р1: р2р3..рк=q2q3..qm = n1 u n1<n, n1>1. Значит, для числа n1 единственность имеет место. Сл-но, к = m и простые числа отл-ся от
только порядком следования. Значит, утв-ие верно и для числа n. Замечание: среди сомножителей в разложении числа n=p1 p2… pk могут быть равные сомножители, их принято записывать в виде степеней. Пусть p1 p2 …pm –различные пр. сомножители в разложении числа n.
Пусть pi входит в разложение αi раз, (i=1…m)тогда n=. Множители р1,..рm обычно располагаются в порядке возрастания. Такое разложение числа наз. каноническим разложением.
Пример: найти канон. разложение числа 1176
1176 |
2 |
588 |
2 |
294 |
2 |
147 |
3 |
49 |
7 |
7 |
7 |
1 |
Применение основной теор. арифметики: Если есть каноническое разложение 2-х натур. чисел, то можем считать, что эти разложения состоят из одинаковых простых сомножителей, если мы добавим сомножитель вида p0.
Например:24=233 140=22
5
7 |=►
24= 23 3
50
70
140= 22 5
7
30
Теорема:
Пусть даны канонич. представления натуральных чисел n u m. n=. , m=
. .
Тогда (n, m)=., где
=min(
),
. , где
, где i=1…k.
Пример:
Вопрос 8. Приводимые и неприводимые многочлены. Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители над произвольным полем.
Пусть P[x]-кольцо мн-ов одной перем-ой с коэф-ми из поля Р. Как изв-но, любой мн-н f(x) P[x] дел-ся на
эл-т с
P, отличный от 0 и на мн-ны сf(x) (т. к.Р-поле, то
. Тогда f(x)=
.
f(x)=). Такие делители наз-т тривиальными.
Опр.1: fP[x] наз-ся неприводимым над полем Р ó1. cт. f >0; 2. f имеет только тривиальные делители в кольце P[x].
Опр.2: fP[x] наз-ся приводимым в поле Р ó1. cт. f >0; 2. f имеет делители, отличные от тривиальных, т. е. f можно представить в виде произ-ия двух мн-ов gk, где g, k
P[x]; 0< ст. g < ст. f ; 0< ст. k < ст. f
Замечание: Понятие неприводимого мн-на тесно связано с полем, например, f(x) = x2 – 2
1. f(x)= x2-2 Q[x] неприводим в поле Q.
2. f(x)= x2-2 R[x] приводим в поле R, т. к.
x2-2 = (х —)(х +
) ; х —
; х +
R
Св-ва неприводимых мн-ов:
1. Любой мн-н 1-ой ст. из кольца P[x] неприводим над Р.
Док.: (от прот.) , f-1-ой ст. –привод. над полем Р. Тогда f имеет нетр. делит., т. е.
. Тогда 1= ст.
=ст.
+ст.
— противор-ие
-неприводим.
2. f, hP[x], h – неприводим в Р => f
h или (f, h)=1.
Док-во: Пусть (*) D = (f, h)=>hD; h – неприводим в Р =>D — тривиальный делитель h, т. е. D=с
или D= сh, Если D=с, то f и h вз. просты. Если D = сh, тогда f
D = φγh =>f = γhφ = h(φγ)=>f
h.
3. h1, h2 – неприводимы в Р мн-ны. => (h1, h2)=1 или h1 и h2 – ассоциированы.
Док-во: h1Р[x]; h2 – неприводим => (h1, h2)=1 — доказано или h1
h2 и h1 – неприводим =>(по св-ву 1) h1
h2 , h2
h1.=> h1 ассоциирован с h2.
Узнать стоимость за 15 минут
Распродажа дипломных
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Подпишись на наш паблик в ВК
Нужна работа?
Контрольная работа у наших партнеров