Примеры векторных пространств

2. Единственность. Пусть вектор b может быть линейно выражен через вектора двумя способами. Т. е. и . Вычтем из первого равенства второе, получим:

Так как система векторов линейно независима, то такое равенство выполняется только при . То есть разложение вектора b по векторам единственное. ▲.

5) Пусть даны две системы векторов пространства : причем и каждый вектор системы линейно выражается через векторы системы ,

тогда система — линейно зависима.

Доказательство: По условию,

Система линейно зависима

Рассмотрим систему уравнений:

В этой однородной системе , т. е. число неизвестных больше, чем число уравнений системы, значит система имеет ненулевое решение.

А значит и система имеет ненулевое решение имеет место равенство система линейно зависима. ▲.

Примеры векторных пространств:

1. — арифметическое векторное пространство над .

2. — множество всех матриц размера с элементами поля Р — векторное пространство над полем Р.

3. Многочлены от одной переменной с коэффициентами из поля Р — векторное пространство над Р — .

4. — многочлены от одной переменной с коэффициентами из поля Р степени не выше п.

5. — множество всех отображений множества в — векторное пространство над полем относительно операций сложения отображений и умножения отображений на действительные числа.

6. Множество всех комплексных чисел есть векторное пространство над полем действительных чисел .

ВОПРОС № 5 Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность. Координаты вектора.

Опр.1. Пусть — векторное пространство над полем Р. Совокупность векторов пространства называется базисом пространства , если:

1) — линейно независимая система векторов;

2) любой вектор пространства линейно выражается через векторы , т. е. .

Теорема 1. Если пространство над полем Р имеет базис, то любые 2 базиса пространства содержат одинаковое число векторов.

Доказательство: Пусть и — 2 базиса пространства . Допустим, что , тогда имеем: каждый вектор системы (1) линейно выражается через векторы системы (2), т. к. (2) — базис. А тогда, по свойствам линейной зависимости, имеем, что (1) — линейно зависима, что противоречит тому, что (1) — базис . Значит .