Примеры векторных пространств

Примеры полей.

1. Q, R, C.

2. P={a+b}

3. Q(i)={a+bi; a, bЄQ}-поле Гауссовых чисел.

4. αЄС наз-ся алгебраическим, если α корень многочлена f(x)ЄQ[x]. Мн-во всех алгебраических чисел образует поле.

5. Р – числовое поле, Р⊂С

Р(α)=; f(x), g(x)ЄP[x], g(x)¹0}

αЄС

P(α) наз-ся простым расширением поля Р.

6. Мн-во всех дробно-рациональных функций с действительными коэффициентами.

Р=; f(x), g(x)ЄR[x], g(x)¹0}

7. P — числовое поле, Р⊂С, α1, α2,…, αnЄC

P(α1, α2,…, αm)=, f, gЄP[x1,…,xm], g(α1,…, αm)¹0}

8. ZP={,… ,}, p — простое — поле относительно + и · .

Если Zm, m –составное, — это не поле, т. к. здесь есть делители нуля.

Вопрос 4.

Опред. векторного пространства. Свойства. Примеры векторных пространств.

п.1. Основные понятия

Опр1: Пусть V — аддитивная абелева группа (1.+-ассоц,2.+-коммут.,3. ). Р — поле и пусть так же определено действие умножения эл-тов мн-ва V на элементы поля Р (т. е.указан закон по которому " ставится в соответствие единственный элемент , который наз-ся произведением l на· и обозначается = l·)

Тогда V наз. векторным пространством над полем Р, если:

1) l()=l; 2) (l1+l2)=l1+l2

3) (lj)=l(j 4) "ЄV e=, е — единичный элемент поля Р.

Элементы мн-ва V обычно наз-ся векторами, а элементы поля Р — скалярами.

Св-ва (относительно сложения):

1) Т. к. V — группа коммутативная относительно «+», то для V выполняются все св-ва группы:

1. -единственный нулевой вектор

2." единственный элемент —

3." уравнение имеет единственное решение , которое обозначается ,

Св-ва (относительно умножения):

1. 0·; 2. l нулевой эл-т V

3. l=Þl=0 или =; 4. l=-l

5. (-l)=-l; 6. l()= l

Док-во:

1. 0·

0·+0·= (2 акс.)= (0+0)=0·+

0·=

2. Док-ся аналогично.

3. l=

1) l=0Þ0·=

2) l¹0Þ$ l-1 Є Р, l-1·l=е

l-1(l)= l-1·Þ(зак., 2 св-во)Þ

4. l(-)=- l

l(-)+l=l(-= ll(-)=- l.