Примеры векторных пространств
Примеры полей.
1. Q, R, C.
2. P={a+b}
3. Q(i)={a+bi; a, bЄQ}-поле Гауссовых чисел.
4. αЄС наз-ся алгебраическим, если α корень многочлена f(x)ЄQ[x]. Мн-во всех алгебраических чисел образует поле.
5. Р – числовое поле, Р⊂С
Р(α)=; f(x), g(x)ЄP[x], g(x)¹0}
αЄС
P(α) наз-ся простым расширением поля Р.
6. Мн-во всех дробно-рациональных функций с действительными коэффициентами.
Р=; f(x), g(x)ЄR[x], g(x)¹0}
7. P — числовое поле, Р⊂С, α1, α2,…, αnЄC
P(α1, α2,…, αm)=, f, gЄP[x1,…,xm], g(α1,…, αm)¹0}
8. ZP={,
… ,
}, p — простое — поле относительно + и · .
Если Zm, m –составное, — это не поле, т. к. здесь есть делители нуля.
Вопрос 4.
Опред. векторного пространства. Свойства. Примеры векторных пространств.
п.1. Основные понятия
Опр1: Пусть V — аддитивная абелева группа (1.+-ассоц,2.+-коммут.,3. ). Р — поле и пусть так же определено действие умножения эл-тов мн-ва V на элементы поля Р (т. е.указан закон по которому "
ставится в соответствие единственный элемент
, который наз-ся произведением l на·
и обозначается
= l·
)
Тогда V наз. векторным пространством над полем Р, если:
1) l()=l
; 2) (l1+l2)
=l1
+l2
3) (lj)=l(j
4) "
ЄV e
=
, е — единичный элемент поля Р.
Элементы мн-ва V обычно наз-ся векторами, а элементы поля Р — скалярами.
Св-ва (относительно сложения):
1) Т. к. V — группа коммутативная относительно «+», то для V выполняются все св-ва группы:
1. -единственный нулевой вектор
2." единственный элемент —
3." уравнение
имеет единственное решение
, которое обозначается
,
Св-ва (относительно умножения):
1. 0·; 2. l
нулевой эл-т V
3. l=
Þl=0 или
=
; 4. l
=-l
5. (-l)=-l
; 6. l(
)= l
Док-во:
1. 0·
0·+0·
= (2 акс.)= (0+0)
=0·
+
0·=
2. Док-ся аналогично.
3. l=
1) l=0Þ0·=
2) l¹0Þ$ l-1 Є Р, l-1·l=е
l-1(l)= l-1·
Þ(зак., 2 св-во)Þ
4. l(-)=- l
l(-)+l
=l(-
= l
l(-
)=- l
.
Узнать стоимость за 15 минут
Распродажа дипломных
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Подпишись на наш паблик в ВК
Нужна работа?
Написать контрольную работу у наших партнеров